Умножение матриц, обратная матрица
Раздел 3. Матрицы.
1 Линейные операции над матрицами 2. Умножение матриц, обратная матрица
Линейные операции над матрицами. Определение.Матрицей размера Обозначаются матрицы заглавными латинскими буквами А, В, … . Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. В общем виде матрица размера
Если хотят компактно указать, что матрица А имеет размер Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Для всякой квадратной матрицы А естественным образом можно составить и вычислить определитель этой матрицы, который обозначается
Замечание: нельзя «путать» скобки, - это не «мелочь»!!! Если Матрица, сплошь состоящая из нулей, называется нулевой, обозначается У всякой квадратной матрицы, как и у определителя, можно выделить две диагонали: главную (соединяющую левый верхний и правый нижний углы таблицы) и побочную. Матрица называется диагональной, если у нее все элементы, кроме элементов стоящих на главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны единице, обозначается Е. Ясно, что Рассмотрим далее операции (или действия), которые можно проводить с матрицами. Сначала рассмотрим линейные операции. Во-первых, две матрицы называются равными, если они одинакового размера и все соответственные элементы (т.е. элементы, стоящие на одинаковых местах) равны. Суммой двух матриц одинакового размера
Произведениемчисла Например: На практике этой операцией удобно пользоваться «в обратном направлении» - если все элементы матрицы имеют общий множитель, его можно вынести за знак матрицы в качестве сомножителя. Заметим отличие этой операции над матрицами и над определителями!!! Операции сложения матриц и умножения на число называются линейными операциями. Эти операции являются простейшими – для них справедливы основные законы операций – переместительный (коммутативный):
Следующая операция, умножение двух матриц, уже не столь проста.
Умножение матриц, обратная матрица.
Мы уже видели, что в матрице выделяют строки и столбцы. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей – строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей – столбцом. Поэтому ясно, что в матрице Определение.Произведением матрицы
Поясним на первый взгляд громоздкую формулу (1). Заметим, что в матрице Теперь легко заметить, что формула (1) есть сумма произведений элементов Например, Надо немного «потренироваться» и умножение матриц не будет доставлять никаких трудностей. Однако, из определения нетрудно заметить, что умножение матриц уже не обязательно удовлетворяет привычным для нас законам. Во – первых, из определения, т.е. из правила «строка на столбец», очевидно неравноправие сомножителей, поэтому ясно, что умножение матриц не обязательно перестановочно. Пример 1.
Пример 2. Пример 3.
- надо, чтобы количество столбцов первой матрицы равнялось количеству строк второй. Пример 4.
Квадратные матрицы одинакового порядка перемножить можно всегда. Для них вводим следующее понятие. Определение.Квадратная матрица Отметим без доказательства, что для определителей матриц справедливо соотношение Пример 5.Проверим соотношение
Если это свойство применить к взаимно обратным матрицам, то получим, что Приведем без доказательства формулу для нахождения обратной матрицы:
Формула (2) вновь нам показывает, что Определение.Если в матрице Теперь можно переходить к примерам. Во избежание путаницы рекомендуется нахождение обратной матрицы проводить в следующем порядке. Пусть, например, имеется матрица
1.
2. Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы
3. Записываем так называемую присоединенную матрицу
4. Для получения обратной матрицы остается протранспонировать присоединенную и поделить на Разумеется, все выкладки («для первого раза») проведены излишне подробно. На практике этот пример оформляют значительно короче: Начинаем в любом случае с вычисления Вычисление алгебраических дополнений, т.е. определителей второго порядка ( с учетом таблицы знаков!), легко проводить «в уме» (устно). Как видим, даже для матриц третьего порядка приходится проводить много арифметических подсчетов. Поэтому всегда полезно сделать проверку: должно выполняться Пример 6. Даны матрицы Найти матрицу Решение. Сначала найдем матрицу
Ответ:Матрицы Матрицы и определители находят непосредственное применение в теории и практике систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), к изучению которых мы и приступаем.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3158)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |