Синтез оптимального алгоритма управления
Получение уравнений вариационной задачи. Введем вспомогательную функцию (функцию Лагранжа)
, где - пока неизвестная функция, называемая неопределенным множителем Лагранжа. Рассматриваемая задача называется задачей Лагранжа. l(t) – неопределенный множитель Лагранжа, Φ – функция Лагранжа.
Запишем уравнения Эйлера для функции (они называются уравнениями Эйлера – Лагранжа) Решим совместно уравнения Эйлера – Лагранжа и уравнение связи. Это система трех уравнений для определения трех неизвестных x(t), u(t), l(t).
В итоге получаем систему уравнений
(3) (4) (5)
Здесь (3), (4) – уравнения Эйлера – Лагранжа. К этим уравнениям добавлено уравнение объекта (5) (уравнение связи).
Отыскание решения уравнений вариационной задачи. Уравнения (3) – (5) решаются в следующем порядке: 1) Выразим u(t) из (4): Затем подставим его в (5). При этом получается система уравнений , (6)
с коэффициентами a11 = p – nb/2m = - 2500 , a12 = b2/2m = 2303,67, a21 = 2q – n2/2m =90, a22 = nb/2m – p = 2500.
Получим систему уравнений:
2) Запишем систему (6) в матричной форме
, (7) где , .
3) Запишем решение уравнения (7) в соответствии с формулой Коши в виде:
, (8)
где – вектор начальных условий, а матричная экспонента определяется по формуле Лагранжа – Сильвестра
,
где l1 , l2 – собственные числа матрицы А. Е - единичная матрица. Найдем собственные числа матрицы А из условия . Получим: , , . Из системы следует, что для нахождения и необходимо знать начальные значения и . (начальное положение объекта) задано, неизвестно. Для определения неизвестного начального значения множителя Лагранжа l(t0), входящего в (8) необходимо: а) запишем (8) для момента времени t1
или , , (9) где e11 , е12 , е21 , е22 – элементы матрицы (числа):
б) определим l(t0) из первого уравнения системы (9)
Получили, что
Решаем уравнение (7):
4) Решив уравнение (7), запишем выражения для оптимальной траектории и оптимального управления:
- оптимальная траектория - оптимальное управление
Анализ процессов в системе. Анализ процессов при оптимальном режиме Анализ процессов при оптимальном режиме построим графики x°(t) , u°(t) на интервале tÎ[t0,t1]. Этот интервал разбивается на 10 частей и вычисляются значения x°(t) и u°(t) в этих точках.
Полученные графики представлены на рисунках №1,2.
Анализ процессов при линейном изменении тока i(t) Полагая, что ток изменяется линейно от заданного начального состояния до заданного конечного состояния
xЛ(t) = kt + d ( iЛ(t) = kt + d),
(величины k , d найдем из условия прохождения iЛ(t) и uЛ(t) через заданные начальное и конечное значения)
xЛ(0) = d=0,3 , xЛ(0.001) = 0.001k + 0,3 = 0,95
xЛ(t) = 650 + 0,3
запишем на основе (1) выражение для закона управления uЛ(t) , обеспечивающее такое линейное изменение .
По полученным данным построим графики процессов xЛ(t), uЛ(t).
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (424)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |