Дисперсия случайной величины и ее свойства
На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Использовать в качестве такой характеристики отклонение случайной величины от ее математического ожидания не представляется возможным. Теорема. Для любой случайной величины математическое ожидание ее отклонения равно нулю, т.е. . Доказательство. Действительно, учитывая, что – постоянная величина, имеем: Такой характеристикой степени рассеяния случайной величины является дисперсия. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания: .еличина распределение корреляция Очевидно, что дисперсия случайной величины постоянна, т.е. является числовой характеристикой этой величины. Если случайная величина имеет закон распределения , то . Так же как и для математического ожидания, свойства дисперсии можно сформулировать в виде теорем. Теорема. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Доказательство. Если – постоянная величина, то и, следовательно, . Этот результат очевиден, поскольку постоянная величина изображается точкой на числовой оси и не имеет рассеяния. Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат . Доказательство. Если – постоянный множитель, а – случайная величина, то – тоже случайная величина, математическое ожидание которой . Применяя к случайной величине определение дисперсии, получаем: . Теорема. Дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания ее квадрата и квадрата математического ожидания самой величины: . Доказательство. Используя основные теоремы о математическом ожидании можно записать: Теорема. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: . Доказательство. Поскольку , следовательно: , где – так называемый корреляционный момент величин и . Если случайные величины и независимы, то случайные величины и , очевидно, также независимы, поэтому: Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. Следствие 2. Если – постоянная величина, то . Следствие 3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е. если случайные величины и независимы, то . Доказательство. . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются ее основными числовыми характеристиками.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (919)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |