Упражнения для самостоятельной работы
9. Выполнить основные четыре действия алгебры над комплексными числами и . 10. Найти действительные решения уравнения . 11. Найти середину отрезка, соединяющего точки и . 12. Три последовательные вершины параллелограмма находятся в точках , , . Найти четвертую вершину. 13. Показать, что , . 14. Изобразить на комплексной плоскости числа , . Найти их модули и аргументы. 15. Изобразить на комплексной плоскости числа а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) и вычислить их модули и главные значения аргумента. 16. Представить в показательной форме числа ; ; ; . 17. Найти модуль и аргумент числа , если . 18. Вычислить . 19. Решить уравнение .
2. МНОЖЕСТВА ТОЧЕК, ЛИНИИ, ОБЛАСТИ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
Линии и области на комплексной плоскости мы рассматриваем как множество точек, обладающих определенными свойствами и удовлетворяющих определенным уравнениям или системе уравнений, неравенствам или системе неравенств. Параметрические уравнения кривой в действительных переменных
в комплексной плоскости могут быть заменены одним уравнением
, (2.1) которое называется параметрическим или уравнением кривой в комплексной форме. Если кривая задана в неявном виде , то путем подстановки в это уравнение выражений (2.2) получим уравнение кривой в комплексной форме . При решении задач по определению и изображению линии и областей в комплексной плоскости следует помнить геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел (см. упражнение 2). Рассматривая как расстояние между двумя точками и плоскости, достаточно легко задавать аналитически линии и области.
УПРАЖНЕНИЯ 20. Написать в комплексной форме уравнение кривой : . Решение. 1-й способ. Согласно (2.1) имеем параметрическое уравнение кривой . 2-й способ. Легко видеть, что данная кривая – парабола . Перейдем в этом уравнении к комплексному переменному, воспользовавшись формулами (2.2), , откуда получаем . 21. Написать уравнение окружности в комплексной форме. Решение. 1-й способ. Рассмотрим окружность как множество точек , равноудаленных на расстояние от центра . Тогда имеем . 2-й способ. Как известно, параметрические уравнения окружности радиуса с центром в точке имеют вид где . Следовательно, . Если воспользоваться показательной формой комплексного числа, то полученное уравнение можно записать в виде .
22. Написать уравнение эллипса с фокусами в точках и , большая ось которого равна .
Расстояние между фокусами: , а малая полуось по известным и определяется из формулы .
23. Выяснить геометрический смысл уравнения .
2-й способ аналитический. Пусть , тогда
. Поскольку левые части последних соотношений равны, то равны и их правые части, т.е. . После упрощения получаем уравнение прямой линии. 24. Какая кривая определяется уравнением ? Решение. Из области определения функции исключается точка , пусть . Тогда . Следовательно, . По условию или , откуда следует, что данное условие определяет окружность , .
25. Определить, какое множество точек удовлетворяет условию .
26. Построить на комплексной плоскости области, заданные условиями: а) ; б) , . Решение. а) Искомое множество точек удовлетворяет двум неравенствам: и . Первое условие определяет точку эллипса с фокусами и , для которого , , (уравнение эллипса в действительных переменных: ). Второе уравнение – внутренность эллипса с фокусами в тех же точках с полуосями и (уравнение эллипса в действительных переменных ).
б) Легко видеть, что множество точек, удовлетворяющих условию , есть внутренность кольца, ограниченного окружностями и с центрами в начале координат и радиусами 1 и 2. Система неравенств определяет множество точек, составляющих угол между лучами и , причем точки первого луча принадлежат области, а второго – нет. Пересечение указанных множеств определяет искомую область , которая изображена на рис. 2.5. 27. Какое множество точек комплексной плоскости определяется условием ? Решение. Пусть . Тогда и . Следовательно, . По условию или . Полученное неравенство определяет множество точек, изображенных на рис. 2.6.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (746)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |