Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
Переходим к рассмотрению следующего типа дробей: , , , (коэффициенты a и c не равны нулю). На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом:
Пример 5
Пример 6 Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и какосуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачемвыделяются квадраты в данных примерах. В частности, в Примере 6 сначала необходимо представить знаменатель (2x2-5) в виде , а потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой . Попробуйте самостоятельно решить примеры №№ 7 и 8, тем более, что они достаточно короткие.
Пример 7 Найти неопределенный интеграл: .
Пример 8 Найти неопределенный интеграл: .
Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то Ваши навыки дифференцирования на высоте.
Метод выделения полного квадрата
Интегралы вида , (коэффициенты a и b не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата. На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения: или . Формулы применяются именно в таком направлении, то есть идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их, соответственно, в либо .
Пример 9 Найти неопределенный интеграл . Это простейший пример, в котором при слагаемомx2– единичный коэффициент(а не какое-нибудь число или минус). Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя: . Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать: Теперь можно применить формулу : После того, как преобразование закончено ВСЕГДАжелательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет. Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:
Пример 10 Найти неопределенный интеграл . Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Пример 11 Найти неопределенный интеграл . Что делать, когда перед x2 находится минус? В этом случае нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу(«двойку» в данном случае) не трогаем! Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку прибавить: Тут получилась формула , применяем: ВСЕГДА выполняем на черновике проверку: что и требовалось проверить. Чистовое оформление примера выглядит примерно так: Усложняем задачу.
Пример 12 Найти неопределенный интеграл: Здесь при слагаемом x2 уже не единичный коэффициент, а «пятёрка». (1) Если при x2 находится константа, то её сразу выносим за скобки. (2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами. (3) Очевидно, что всё сводится к формуле . Надо разобраться в слагаемом 2ab, а точнее, найти величину b получить «двойку». (4) Как видим, здесь b = (2/5). Значит, к выражению прибавляем (2/5)2 = (4/25), и эту же дробь вычитаем. (5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить (7/5)-(4/25), но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма , и действие (7/5)-(4/25) выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже. (6) Собственно, можно применить формулу , только вместо «икс» у нас x+(2/5), что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию x+(2/5) следовало подвести под знак дифференциала: , но, как уже неоднократно отмечалось, этим часто пренебрегают. (7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:
Пример 13 Найти неопределенный интеграл . Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы, но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1476)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |