Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции
Перейдем к рассмотрению случая, когда старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя.
Пример 8 Найти неопределенный интеграл . Совершенно очевидно, что данная дробь является неправильной, так как 4>3. Основной метод решения интеграла с неправильной дробно-рациональной функций – это деление числителя на знаменатель. Да-да, делить будем столбиком, как самые обычные числа в школе. Напоминаю алгоритм. Сначала рисуем «заготовку» для деления: . ВСЕ недостающие степени (и (или) свободные члены) без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами. Теперь маленькая задачка: на какой множитель нужно умножить , чтобы получить ? Очевидно, что на : Далее умножаем сначала на , потом – на , потом – на , потом – на 0 и записываем результаты слева: Проводим черточку и производим вычитание (из верха вычитаем низ): Старшая степень остатка равна двум, старшая степень делителя – больше, она равна трём, значит, больше разделить не удастся. Если бы изначально у нас был в числителе многочлен пятой степени, то алгоритм деления увеличился бы на один шаг. Итак, наше решение принимает следующий вид: Делим числитель на знаменатель: . (1) Что дало деление? Много хорошего: теперь у нас два слагаемых, первое интегрируется совсем просто, а второе – правильная дробь, которую мы решать уже умеем. После деления всегда желательно выполнять проверку. В рассматриваемом примере можно привести к общему знаменателю выражение , и в результате получится в точности исходная неправильная дробь . (2) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель дроби раскладываем на множители Дальше всё идет по накатанной схеме: Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: . Готово.
И, наконец, заключительный пример для самостоятельного решения. Он очень интересен, рекомендуем всем!
Пример 9 Найти неопределенный интеграл .
Заметим, что во всех примерах урока в ходе решения систем у нас получались «хорошие» целые коэффициенты A, B и C. Это происходило по той причине, что почти все интегралы были взяты из сборника задач по высшей математике для экономистов. На практике же часто будут появляться разные нехорошести. Таким образом, если в ходе решения интеграла от дробно-рациональной функции у Вас получаются дробные значения коэффициентов A, B, C,…, то в этом нет ничего страшного, ситуация даже обыденна. Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: ; ; ; . Комментарий. В правой части у нас нет слагаемого с x2, поэтому в первом уравнении системы ставим справа ноль. .
Пример 4: Решение:
Шаг 1.Проверяем, правильная ли у нас дробь? Старшая степень числителя - 6. Старшая степень знаменателя - 8. Так как 6<8, то дробь является правильной. Шаг 2.Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Множитель (x2+4) разложить нельзя, а вот (x2-4) – можно: . Шаг 3.Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей. В данном случае, разложение имеет следующий вид:
Пример 6: Решение: . Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: . . .
Пример 7: Решение: . Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: . .
Пример 9: Решение:
(1) Здесь неправильная дробь, поскольку старшие степени числителя и знаменателя равны: 3 = 3. Для того чтобы разделить числитель на знаменатель придётся временно раскрыть скобки в знаменателе. (2)-(3) Теперь можно разделить числитель на знаменатель , но делать этого… я не буду. Можно поступить хитрее. Прибавим и вычтем из числителя выражение: (-x2-x+1). (4) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель оставшейся, уже правильной, дроби снова записываем в виде произведения множителей. Тут я немного сокращено разложение, надеюсь, всем понятно, что . Далее очевидно… Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: . .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2571)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |