Криволинейные интегралы первого типа
На каждой из частичных дуг , длины которых обозначим , выберем также произвольным образом по одной точке и вычислим значение функции в каждой из этих точек f( )=f(xk,yk). Составим сумму , которая называется интегральной суммой для функции f(x,y) вдоль кривой L. Обозначим наибольшую из длин частичных дуг через λ: .
. Иначе этот интеграл называют криволинейным интегралом по длине дуги. Замечания.
.
. 3. Геометрический смысл: криволинейный интеграл при численно равен площади участка цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz. Снизу этот участок ограничен контуром интегрирования (L), а сверху – кривой, изображающей подынтегральную функцию f(x,y). Вычисление криволинейных интегралов первого типа. Криволинейный интеграл первого типа можно преобразовать к обыкновенному определенному интегралу. Пусть f(x,y) непрерывна вдоль кривой (L).
(*)
(**)
(***) Пример 12. Вычислить криволинейный интеграл , где (L) - отрезок прямой , соединяющий точки (3, 1) и (0, 4). Решение. Находим дифференциал длины дуги: , . Используя формулу (*), получаем . Ответ. . Пример 13. Вычислить криволинейный интеграл , где (L) – арка
. Используя формулу (**), получаем: . Ответ. . Пример 14. Вычислить , где (L) – линия, заданная уравнением Решение.
, . Неравенство выполняется при . Строим кривую с учетом условия (рис. 17). Находим производную . Вычисляем криволинейный интеграл, используя формулу (***):
. Ответ. .
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (505)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |