От пути интегрирования
в области (D) (рис. 27). Получим различные значения интеграла (*). Если же окажется, что значение интеграла (*) по всем возможным кривым одно и то же, т.е.
то говорят, что криволинейный интеграл (*) не зависит в области (D) от пути интегрирования. Значение такого интеграла определяется заданием лишь начальной точки А и конечной точки В. Выясним условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
а) Необходимость. Пусть AlBkA – произвольный замкнутый контур в (D) (рис. 28). По условию
Тогда б) Достаточность. Пусть криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру, например AlBkA, равен нулю. Тогда
Отсюда Замечание. Доказанная теорема имеет теоретическое значение, однако на практике мы не в силах вычислить интеграл по всем замкнутым контурам, хотя бы даже проходящим через заранее выбранные точки А и В.
Доказательство этой теоремы основано на использовании формулы Грина-Остроградского. Докажем, например, достаточность утверждения теоремы. Пусть в области (D) всюду выполняется равенство
а это означает, что интеграл Пример 19. Вычислить Решение.
данный интеграл не зависит от пути интегрирования. Для упрощения вычислений выберем путь, изображенный на рис. 29. Тогда, обозначая данный интеграл через I, получим: Ответ. - 31. Замечание. При интегрировании по горизонтальному пути учитываем, что y = 1, а dy = 0, а при интегрировании по вертикальному отрезку в подынтегральное выражение подставляем x = 2, dx = 0. Если точку
Если существует функция
Замечание. 1. Сравнивая теоремы 2 и 3, приходим к выводу: для того, чтобы криволинейный интеграл 2. Можно показать, что Пример 20. Проверить, является ли выражение полным дифференциалом некоторой функции двух переменных Ф(x, y), и, если это так, найти Ф(x, y). Решение.
Найдем эту функцию (рис. 30)
Ответ.
Замечание. Так как функция
Варианты контрольной работы №6.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 2. Вычислить: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (439)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |