Определение математического ожидания
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений ( ) на их вероятности ( ): . Важно отметить свойства математического ожидания: Из определения математического ожидания дискретной случайной величины непосредственно следует, что: 1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: . Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий (теорема сложения математических ожиданий): . Заметим, что удобство математического ожидания объясняется его следующими свойствами: 1. Математическим ожиданием выборочного значения признака служит как раз среднее арифметическое значение признака в генеральной совокупности (генеральное среднее значение): 2. Математическое ожидание от разницы между случайной величиной и её математическим ожиданием равно 0, то есть . Другими словами, сумма уклонений в положительную сторону равна сумме уклонений в отрицательную сторону 3. Сумма квадратов уклонений (дисперсия) от средней величины меньше, чем сумма квадратов уклонений от всякой другой величины (см. далее свойства дисперсии). Определение дисперсии Наряду с характеристиками положения (математическое ожидание показывает центр распределения) большую роль играют характеристики рассеяния. Рассеяние случайной величины связано с отклонением этой величины от ее центра распределения . Непосредственное осреднение этого отклонения не может дать числовой характеристики рассеяния, так как Определения: Основной характеристикой рассеяния случайной величины служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение , определяемое по формуле: где . Метод вычисления дисперсии для дискретных случайных величин: Свойства дисперсии: , где (с) - любое число. Доказательство: Формула вытекает из линейности математического ожидания: так как , Тогда: Из последней формулы вытекает, что: Средний квадрат отклонения случайной величины от ее центра распределения меньше, чем средний квадрат ее отклонения от любого другого числа (с): В частном случае при с = 0 получаем удобную формулу для вычисления дисперсии : Теорема: При линейном преобразовании случайной величины , то есть для линейной функции дисперсия увеличивается в раз, а среднее квадратическое отклонение - в раз. Например: Доказательство: В силу линейности математического ожидания имеем Поэтому:
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (354)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |