Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка
Обыкновенные дифференциальные уравнения Задача Кошидля дифференциального уравнения первого порядка Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка включает уравнение вида:
Существуют различные методы численного решения задачи Коши: методы рядов Тейлора, одношаговые методы Рунге-Кутта, многошаговые разностные методы. При решении уравнения численными методами значения функции
Методы Рунге-Кутта. Простейшим вариантом методов Рунге-Кутта является метод Эйлера, при котором производная заменяется конечной разностью. В случае где Данный метод имеет первый порядок точности по h, погрешность нарастает с удалением от точки Общий вид методов Рунге-Кутта (при
. . . . . . . . ,
Коэффициенты Метод Эйлера получается при Для В частности при
При
Большое распространение получили методы Рунге-Кутта четвертого ( Пример 1.
Пример 2.
Для повышения точности вычислений можно воспользоваться итерационным методом уточнения. Он заключается в том, что каждое значение Уточнение продолжают до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения не совпадут.
Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка. Каноническая форма обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка имеет вид:
Уравнение порядка n сводится к эквивалентной системе n уравнений первого порядка путем замены переменных:
Для ее решения применимы те же методы, о которых говорилось выше. Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений yi, y1,i, y2,i,…, yn-1,i, i=1,2,…,k решения u(x) и его производных: u1(x),…, un-1(x) на отрезке [ x0, xk] в точках x0,x1,…,xk. Например, дано уравнение 2-го порядка
Ниже показано решение этой задачи с помощью встроенной в MathCADфункции rkfixed. Здесь вектор-функция {u(x), u1(x)} обозначена как {y1(x), y2(x)}. При вычислении решения на отрезке
Функция rkfixedимеет пять аргументов. Первый аргумент - вектор начальных условий. Два вторых аргумента задают начальное и конечное значение x. Четвертый определяет количество шагов интегрирования. Последний аргумент - это вектор-функция, составленный из правых частей системы уравнений. Результатом вычислений является матрица, первый столбец которой задает координату х, следующие столбцы соответственно y, y’…
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3450)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |