Лабораторная работа №17. Найти приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадратной области
Найти приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадратной области (квадрат АВСD) при , . Шаг сетки , погрешность . Исследовать влияние параметра из интервала с шагом 0,1 на сходимость итерационного процесса. Найти оптимальное значение . Ниже в таблице приведены функции, задающие искомую функцию на сторонах квадрата.
Уравнение колебаний.Рассматривается задача определенная на отрезке по пространственной координате, и на по временной. В этой области находится функция , удовлетворяющая уравнению: , , , начальными условиями: , при и граничными условиями: , при . Здесь , , , , - заданные функции. После введения сетки { , , ; , , } и перехода к конечным разностям получаем систему разностных уравнений: , , . Решение на -ом шаге по времени выражается явным образом. Погрешность аппроксимации этой схемы . Она устойчива при . , где Граничные условия переписываются: , при . Для решения уравнения необходимо знать два первых временных слоя, которые выражаются из начальных условий. , , для нахождения используется аппроксимация производной: , откуда . Если аппроксимировать производную со вторым по t порядком точности, то получается формула: .
Лабораторная работа №18 Найти приближенное решение уравнения колебаний при заданных начальных и краевых условиях , , , , .
Физическая задача №6 Постановка задачи. Требуется найти характер установления стационарного решения задачи №2, решая уравнение теплопроводности:
r×с×¶Т ¤¶t = l׶2T ¤ ¶t2 + Q(T). (1)
В этом уравнении r - плотность металлического проводника (2.71 кг/дм ). Остальные параметры выбрать таким же, как в предыдущей краевой задаче. Граничные условия также соответствуют краевой задаче. В задании следует использовать классическую явную схему с двумя шагами по времени t = t0 = h2/(2c) и t = t0 ¤3 [2]. Требования к защите. 1. Представить зависимость от времени максимума температуры по x до момента получения стационарного решения задачи с погрешностью не более 1% по максимальному значению температуры. 2. Добиться подбором N (h =L/N), чтобы максимум температуры в момент времени t1 = 0.05L2/c был вычислен с погрешностью не более 1% (для оценки погрешности использовать прием Рунге). 3. Показать, что счет с t = t0 ¤3 обеспечивает большую точность.
Физическая задача №7 Постановка задачи полностью эквивалентна предыдущему заданию. Но в этом задании необходимо использовать неявную схему [2] и получить аналогичные результаты. Кроме того, требуется показать, что возможность использования более крупного шага по времени в неявной схеме может сократить время счета до получения стационара. Требования к защите. Первые два пункта аналогичны предыдущему заданию. В третьем пункте показать результаты (по интегральным характеристикам) при шагах t = t0, t = 2t0. Физическая задача №8 Поперечные колебания струны описываются уравнением ¶2v¤¶t2 = c2׶2v¤¶x2, 0 < x < L . (1) В этом уравнении с – скорость распространения колебаний c = . (2) Здесь Т – натяжение струны (в ньютонах), r - плотность, а S – сечение струны. Самая низкая частота колебаний струны равна F1 = c/(2L). (3) Расчеты можно выполнять по явной схеме с порядком аппроксимации О(t2 +h2). Фиксированными параметрами считать L=1 м, =7.8 кг/дм , S=4 мм . (4) Величина натяжения определяет вариант задания Т=2j н (j- номер студента в группе). Задание. 1. Вычислить самую низкую частоту F1. 2. Выполнив расчеты, показать графически характер колебаний на одном периоде при однородных граничных условиях и начальных условиях v(0,x) = sin(p×x/L), ¶v(0,x)/¶t = 0. (4) 3. Показать графически решение (положение струны при t=2t ) при нулевых начальных условиях, закрепленном левом конце (v(t,0) = 0) и заданном движении правого конца sin(8p×F1×t) , 0 < t < t0 =1/(8 F1) v(t,L) = 0, t > t0
4. По значению максимального значения решения в момент времени показать точность расчетов посредством перебора шага . Физическая задача №9 Типичными уравнениями эллиптического типа являются уравнения Лапласа и Пуассона. В декартовых координатах уравнение Лапласа это равная нулю сумма вторых частных производных по трем координатам. Уравнение Пуассона отличается от уравнения Лапласа наличием в уравнении заданной функции координат . Впервые оператор Лапласа (сумма вторых частных производных) появился в работах Эйлера. Заслуга Лапласа состояла в том, что он показал, что потенциал поля тяготения вне масс удовлетворяет именно уравнению Лапласа. Математический смысл уравнения Лапласа – усреднение. Зная потенциал, можно вычислить компоненты сил по уравнению . Отметим, что Лаплас пытался выяснить - каким образом передается взаимодействие тел разделенных промежутком. Ответ на этот вопрос не получен до сих пор, но математически задача решена очень изящно. Потенциал в месте нахождения масс определяется уравнением Пуассона с заданием плотности . В определенных единицах это уравнение Пуассона может быть записано в виде . Таким образом, уравнение Лапласа и Пуассона могут описывать распределение потенциала гравитационного поля, электрического и магнитного полей. Кроме того, эти уравнения описывают стационарное распределение температуры.
Задание. Итерационным методом ПВР[2] (последовательная верхняя релаксация) решить конечно-разностные уравнения, соответствующие уравнению Пуассона в области единичного квадрата с однородными граничными условиями Du +f(x,y) = 0, u½Г =0 . (1) f(x,y) = (i+1)×(k+1)×x×(1-x)×y×(1-y) . (2) Целые числа i,k в формуле (2) соответствуют номеру студента в списке (N = ik). Рекомендация – число узлов по каждой координате брать не более 40. Можно считать, что искомая функция – температура, а функция пропорциональна внутренним источникам тепла. Требования к защите. 1. Дать физическую интерпретацию постановке задачи. 2. Представить изолинии полученного решения (не менее трех изолиний). 3. Показать зависимость числа итераций, необходимых для того, чтобы максимальная невязка была менее 10-5, от параметра верхней релаксации w. Для выполнения этого пункта представить число итераций для трех значений параметра релаксации (одно из них равно оптимальному значению w* = 2/(1+sin(p×h)). 4. Для максимального значения решения Um = max½u(x,y)½ получить уточненное значение по правилу Рунге-Ромберга, используя решение на трех сетках.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1002)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |