Лабораторная работа № 7
Пределы и непрерывность функций одной переменной Теоретический минимум 1. Предел числовой последовательности. 2. Теорема Вейерштрасса. 3. Бесконечно малые последовательности. 4. Бесконечно большие последовательности. 5. Предел функции. 6. Первый замечательный предел. 7. Второй замечательный предел. 8. Эквивалентные бесконечно малые. 9. Точка разрыва функции 1-го рода. 10. Точка разрыва функции 2-го рода.
Задания 1. Вычислить пределы функций:
2. Исследовать функцию f(x) на непрерывность, установить тип точек разрыва и построить график функции в окрестности точек разрыва:
Справочный материал к 7-й лабораторной работе 1. Функция (числовая функция)у = у(х) – зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению х Î 2. Числовая последовательность– функция, областью определения которой является множество натуральных чисел; числовая последовательность обозначается как {un}, n Î 3. Монотонная числовая последовательность – возрастающаяпоследовательность (т.е. последовательность {un}, в которой un £ un +1 для всех п) или убывающая последовательность (т.е. последовательность {un}, в которой un £ un +1 для всех п). 4. Ограниченная числовая последовательность– последовательность {un}, для которой существует такое число С Î 5. Предел числовой последовательности{un} – такое конечное число А, что с ростом п величина |un– A| сколь угодно близко приближается к нулю, т.е. для любого сколь угодно маленького числа ε > 0, начиная с некоторого номера N(т.е. при n³N) будет выполняться неравенство |un– A| < ε; обозначение предела числовой последовательности: 6. Теорема Вейерштрасса: если, начиная с некоторого номера N, последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел. 7. Сходящейся числовая последовательность– последовательность {un}, имеющая конечный предел; неограниченно возрастающая монотонная последовательность (обозначение: 8. Бесконечно большие последовательности– последовательности {un}, для которых 9. Бесконечно малые последовательности – последовательности {un}, для которых 10. Предел функции у = у(х) в точке х = х0 – такое конечное число А, что для любой бесконечной последовательности точек {xn} на оси х, сходящейся к точке х = х0, т.е. когда
11. Бесконечно большая – функция y= y(х), для которой
12. Бесконечно малая в окрестности точки х = х0 – функция y= y(х), для которой
13. Бесконечно малые одного порядка в окрестности точки х0 – бесконечно малые у1(х) и у2(х), предел отношения которых в точке х = х0 равен конечному числу А ≠ 0; если
14. Эквивалентные бесконечно малыев окрестности точки х = х0 – бесконечно малые у1(х) и у2(х), предел отношения которых в точке х = х0 равен 1 (обозначение эквивалентных малых: у1(х) ~ у2(х)). Примеры эквивалентных малых в окрестности точки х = 0: sin α(х) ~ tg α(х) ~ arcsin α(х) ~ arctg α(х) ~ eα(х) – 1 ~ α(х); a α(х) – 1 ~ α(х)·ln a; ln(1 ± α(х)) ~ ± α(х); loga(1 ± α(х)) ~
15. Таблица некоторых пределов функций:
16. Методы вычисления предела функции Ø заменить аргумент функции х его предельным значением х0, используя свойства непрерывных функций: Ø если у(х0) представляет неопределенность, то использовать методы ее раскрытия: – для раскрытия неопределенностей вида а)использовать пределы в приведенной таблице непосредственно или после выполнения определенных тождественных преобразований и замены переменной с целью выделения бесконечно малой; в частности, для некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции, указанные операции могут привести к 1-му замечательному пределу; б) если в числителе и (или) в знаменателе функции у(х) многочлены, то: при х ® 0 оставить в каждом многочлене член с переменной х в минимальной степени; при х ® ∞ оставить в каждом многочлене член с переменной х в максимальной степени; при х ® х0 выделить в каждом многочлене множитель (х – х0), представляющий бесконечно малую величину; в) в числителе и знаменателе функции использовать эквивалентные бесконечно малые; г)если бесконечно малой является разность, содержащая корни, то следует эту разность умножить и разделить на такое выражение, которое с учетом формул сокращенного умножения позволит вывести бесконечную малую из иррациональности; Ø для раскрытия неопределенностей вида(0·∞)и(∞ – ∞)можно, если удастся, непосредственно выполнить операции умножения и вычитания, или сначала преобразовать неопределенности к виду Ø для раскрытия неопределенности вида(1∞) нужно использовать 2-й замечательный предел (см. таблицу пределов) или формулу, получаемую как следствие этого предела: Ø для раскрытия неопределенности вида(00)и(∞0) рекомендуется предварительно вычислить предел натурального логарифма функции Примечание:при вычислении пределов числовых последовательностей можно воспользоваться равенством:
17. Свойства пределов: 1) предел постоянной у(х) = С равен этой постоянной: 2) 3) 4) 5) 6) 7) 18. Односторонние пределы: предел функции у = у(х), получаемый для любой сходящейся к х0 последовательности {xn} при условии, что все xn< x0, называется пределом слева (обозначение предела слева точки х0:
19. Условие непрерывности функцииу = у(х)в точкех = х0: у(х0 – 0) = у(х0 + 0) = у(х0).
20. Точка разрыва 1-го рода – точка х0, в которой правый и левый пределы функции y = y(х) конечны, но не равны друг другу, или, в случае их равенства, сама функция y = y(х) не определена в точке х0 или ее значение в этой точке у(х0) ¹ у(х0 – 0) = у(х0 + 0). 21. Точка разрыва 2-го рода – точка х0, в которой хотя бы один из односторонних пределов функции y = y(х) равен бесконечности (+ ¥ или – ¥) или не существует.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (416)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |