Определение вида и коэффициентов нелинейной эмпирической зависимости на основе экспериментальных данных
При изучении технологических процессов экспериментально полученные зависимости часто имеют нелинейный характер. Таким образом, задача заключается в нахождении функции наилучшим образом отвечающей экспериментальным данным. Применение метода наименьших квадратов непосредственно часто оказывается затруднительным. Обычно применяют метод функциональных шкал. Сложность заключается в том, что похожий вид могут иметь совершенно разные функциональные зависимости и заранее сказать какой функции соответствуют полученные экспериментальные данные, если это не следует из физического смысла процесса, оказывается невозможным. Так, например, могут иметь одинаковый характер отдельные участки графиков: a/x + b , a/x2 + b и ae-bx, или ax2 + bx + c и aebx + c , или a√x + b и aln(x) + b и т.п. Ошибка в выборе функции повлечет за собой последующие ошибки, и возможно значительные, при попытке экстраполяции зависимости на более широкий интервал. Использование функциональных шкал позволяет с большей надежностью выбирать правильный вид функции, т.к. при правильном выборе нелинейная зависимость преобразуется в линейную, что обычно видно уже из графика. Таким образом, преимущество метода в том, что проверить линейность полученной прямой, определить ее параметры и сравнить между собой различные функциональные зависимости можно уже любым известным методом. В конечном счете выбирают функцию, для которой сумма квадратов отклонений экспериментальных результатов от расчетных будет минимальна. Например, зависимость имеет, вид: y = af(x) + b , где f(x) - выбранная функция, а и b– коэффициенты, подлежащие определению по данным опыта. Вид функции выбирают исходя либо из теоретических соображений, либо из расположения экспериментальных точек на графике. Существенную помощь в этом может оказать методика, описанная в учебнике А. Г. Севостьянова [1]. В этом случае преобразование имеет простой вид. Положив f(x) = X можно привести уравнение к виду: y = aX + b Если зависимость предполагается искать, например, в виде y = a exp(kx) или y = axk , то имеет смысл прологарифмировать обе части уравнения: ln(y) = ln(a) + kx и ln(y) = ln(a) + kln(x) . Тогда, заменяя переменные Y = ln(y) в первом случае и дополнительно к этому X = ln(x) – во втором случае, получим: Y = ln(a) + kx и Y = ln(a) + kX Рассмотрим алгоритм, предлагаемый в упомянутом учебнике.
Таблица 11.
(X1, Y1) и (Xn, Yn) – начальные и конечные значения в выборке. Для выбора «подходящей» зависимости необходимо представлять вид каждой из них. Они представлены в виде графиков на рис. 2 – 7 .
Рис. 2. Степенная зависимость для разных коэффициентов (a0>0) 1 – a1> 1; 2 – a1 = 1; 3 – 0 <a1< 1; 4 – a1< 0 .
Рис. 3. Экспоненциальная зависимость (a0>0) 1 – a1> 0; 2 – a1<0;
Рис. 4. Гиперболическая зависимость - 3 (a0>0) 1 – a1> 0; 2 – a1< 0;
Рис. 5. Гиперболическая зависимость - 4 (a0>0) 1 – a1>0; 2 – a1< 0;
Рис. 6. Гиперболическая зависимость - 5 (a0>0) 1 – a1>0; 2 – a1< 0;
Рис. 7. Логарифмическая зависимость (a0>0) 1 – a1> 0; 2 – a1< 0;
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (608)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |