Способы решения иррациональных уравнений
Курсовая работа по дисциплине элементарная математика тема: «Методы и приемы решения иррациональных уравнений с параметром»
Выполнил студент 11 группы 1 курса _ Направление подготовки: Педагогическое образование Профиль: математика и информатика Агеева Екатерина Сергеевна
Научный руководитель: ст. преподаватель Высоцкая П.А. Дата защиты: «07» июня 2018г. Оценка: ___________________________ _______________________________ (подпись научного руководителя) Регистрационный номер ________ Дата регистрации ______________ Москва 2018 Оглавление Введение. 3 §1. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.. 4 1.История возникновения. 4 2.Способы решения иррациональных уравнений. 5 3.Сущность решения задач с параметром. 13 4.Основы решения уравнений с параметром. 17 § 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ 19 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 37 ЛИТЕРАТУРА.. 38
Введение В школьном курсе алгебры мы рассматривалиразные виды уравнений: линейные, квадратные, кубические, уравнения с параметрами, иррациональные и множество других. Эта курсовая работа посвящена иррациональным уравнениям, которые содержат в себе параметр. Изучение многочисленных физических и геометрических закономерностей зачастую приводит к решению уравнений, включающих параметр. Задачи и уравнения, включающие параметр, развивают логическое мышление. Трудности этого типа уравнений: множество формул и способов, применяемых при решении уравнений данного вида; возможность решения одного и того же уравнения, включающего параметр, разными методами. Целью курсовой работы является изучение методов и приемов решения различных иррациональных уравнений, содержащих параметр. Для достижения данной цели нам необходимо выделить следующие задачи: 1) Выявить основные положения теории решения иррациональных уравнений, содержащих параметр; 2) Классификация методов решения; 3) Разобрать примеры решения иррациональных уравнений с параметром ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ История возникновения “Источником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи; ибо было бы невозможно выразить одним и тем же вычислением многие значения, удовлетворяющие одной и той же задаче, иначе, чем при помощи корней…; они же разве только в частных случаях могут быть сведены к рациональностям”. (Лейбниц Г.) Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилона и эллинистической эпохи обширно использовали шестидесятеричные дроби, арифметические действия с которыми они именовали «арифметикой астрономов». Согласно аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в. ал-Каши в своей работе «Ключ арифметики» внедрил десятичные дроби, которые он применял с целью повышения точности извлечения корней. Вне зависимости от него, по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в собственных «приложениях к алгебре» (1594 г.) выявил, что десятичные дроби можно применять с целью бесконечно близкого приближения к действительному числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась концепция о том, что естественным аппаратом для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби. Возникновение «Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением различных отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимостью расширения определения рационального числа. В числовой оси иррациональные числа, равно как и рациональные, представляются точками. Данное геометрическое объяснение позволило лучше понять природу иррациональных чисел и поспособствовало их признанию. В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа основывается на идееал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Но объяснение свойств действительных чисел и полная теория их были разработаны только в XIX в. Знак корня (знак радикала) — условное обозначение для корней, по умолчанию квадратных. В общем случае (для корней n-й степени) показатель степени ставится над «птичкой»: знак используется для кубических корней, — для корней 4-й степени и т. п.; для квадратного корня также можно использовать «полное» обозначение. Знак корня происходит из строчной латинской буквы r (начальной в лат. radix — корень), сросшейся с надстрочной чертой: в старину надчёркивание выражения использовалось вместо нынешнего заключения его в скобки, так что есть всего лишь видоизменённый древний способ записи чего-то вроде . Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году. Способы решения иррациональных уравнений Уравнение– это равенство видаf( = g( , где, чаще всего, в качестве f и g выступают различные функции. Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Уравнения подразделяются на 2 большие группы: алгебраические и трансцендентные. Алгебраическим называется такое уравнение, в котором для нахождения корня уравнения применяются только лишь алгебраические действия – 4 арифметических, а также возведение в степень и извлечение натурального корня. Более подробно мы будем рассматривать иррациональные уравнения. Иррациональным уравнением называют такое уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или возведенная в дробную степень. К иррациональным уравнениям относятся уравнения такого вида: = B(x), = , где A(x) и B(x) – выражения с переменной. Основной идеей решения иррационального уравнения является сведении данного уравнения к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо - его следствие. Главным способом для избавления от корня и получения рационального вида уравнения – это возведение обеих частей данного уравнения в одну и ту же степень, которая имеет корень, включающий неизвестное, и дальнейшее «освобождение» от радикалов по формуле: = Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и избавиться от радикалов, в таком случае выйдет уравнение, равносильное исходному уравнению. При возведении уравнения в четную степень получают уравнение, являющееся следствием исходного. По этой причине вероятно появление посторонних решений уравнения. Причина приобретения корней заключается в том, что при возведении в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но различных по знаку, получается один и тот же результат. Отметим, что потеря корней при возведении уравнения в четную степень невозможна. Так как могут появиться посторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляя найденные значения неизвестной только в первоначальное уравнение. Рассмотрим применение данного метода для решения иррациональных уравнений вида: = B(x) Например, решим иррациональное уравнение: = 2x+5 Решение: Нам необходимо сначала возвести обе части в квадрат. Это действие мы производим для того, чтобы избавиться от радикалов. Благодаря этому, уравнение приобретет привычный нам с Вами вид и решить его нам не составит особых трудностей: 6 – 3x = 4 + 20x + 25 Перенесем все в правую сторону и приравняем к нулю: 4 + 20x + 3x – 6 + 25 = 0 4 + 23x + 19 = 0 Получили привычное нам квадратное уравнение. Решить его можно с помощью нахождения дискриминанта, либо с помощью теоремы Виета. Воспользуемся дискриминантом: D = - 4ac = 529 – 4 ⸳ 4⸳ 19 = 529 – 304 = 225; = ±15; ; = -4,75; = -1; Выполним проверку: подставим значение (-4,75) в наше исходное уравнение: = -9,5 + 5; = -4,5 – неверно, соответственно значение (-4,75) не подходит. Подставим значение (-1): = -2 + 5 3 = 3 – верно, соответственно значение (-1) является корнем данного иррационального уравнения. Для ясности, рассмотрим еще один пример: Решение: Для упрощения уравнения возводить обе стороны в квадрат не нужно, достаточно ввести новую переменную, а точнее – сделать замену. Уравнение становится таким: y + = 4 Умножим все на y и перейдем к квадратному уравнению: + 4 = 4y - 4y + 4 = 0 Теорема Виета дала нам одинаковые корни: = 2 Теорема Виета: если и – корни квадратного уравнения ,то сумма корней равна отношению коэффициентов b и a, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению коэффициентов c и a, то есть, , = Вернемся к нашей замене и найдем решение: = 2 = 4 Умножим на x, чтобы могли избавиться от знаменателя: x + 5 = 4x x = Данный ответ удовлетворяет наше равенство, соответственно ответ Рассмотрим уравнение 4x+ - 5 = 0 Решение: Конечно, можно решить это уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Но можно решить и другим способом – методом введения новых переменных. y = Введем новую переменную. Тогда получим 4y²+y–5=0 – квадратное уравнение относительно переменной y. Найдем его корни: Так как y= , а , соответственно, не является корнем данного уравнения. Ответ: 1 Рассмотрим еще один способ решения иррациональных уравнений. + = 3x (1) Решение: Умножим обе части заданного уравнения на выражение = - – сопряженное левой части исходного уравнения. ( + )( - ) = = ( ( ) = 6x 6x = 3x( - ) x( - - 2 ) = 0 Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом известен. Тогда x1=0.Остаётся решить уравнение: - = 2 (2) Сложив уравнения (1) и (2), придём к уравнению: 2 = 3x + 2 Решим это уравнение методом возведения в квадрат двух сторон: 8x² + 12x + 20 = 9x² + 12x + 4 -x² + 16 = 0 x² = 16 x = ±4 Проверка: + = 3x , , + = 3⸳0 2 -неверное равенство,значит 1 не является корнем уравнения. + = 3⸳4 + = 12 12 = 12 – верное равенство, соответственно 4 – корень уравнения. + = 3⸳(-4) + = -12 12 = - 12 – неверное равенство, соответственно -4 –не является корнем уравнения. Ответ: 4 В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение. Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному. Доказательство: Докажем, что уравнение f(x) = g(x)+q(x) (1) f(x) – q(x) = g(x) (2) Пусть х=а – корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство f(a)=g(a)+q(a) . Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство f(a)-q(a)=g(a) показывающее, что а – корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1). Что и требовалось доказать. Теорема 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному. Доказательство: Обозначим через Т1 - множество решений уравнения (1), а через Т2 - множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т1 = Т2. Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т2 является корнем уравнения (1). Пусть число а - корень уравнения (1). Тогда a * Т1, и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a) = g(a), а выражение h(х) обращает в числовое выражение h(a), имеющее смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинного равенства f(a) = g(a) числовое выражение h(a). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f(a) + h(a) = g(a) + h(a), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2). Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т1 с T2. Пусть теперь а - корень уравнения (2). Тогда а * T2 и при подстановке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(a) + h(a) = g(a) + h(a). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение -h(a), Получим истинное числовое равенство f(х) = g(х), которое свидетельствует о том, что число а - корень уравнения (1). Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т.е. T2 с Т1. Так как Т1 с Т2 и Т2 с Т1, то по определению равных множеств Т1 = Т2, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны. Что и требовалось доказать.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (622)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |