Приведение произвольной системы сил к простейшему виду
Основная теорема статики.Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил. Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке тела (центре приведения), момент пары равен главному моменту системы сил относительно этой точки. Главный вектор системы сил : определяется своими проекциями на оси координат: , , , . Главный момент системы сил относительно центра O: определяется своими проекциями на оси координат: , , , . Возможны следующие случаи приведения системы сил к центру: 1. , . Система сил приводится к равнодействующей. Линия действия равнодействующей проходит через центр приведения. 2. , . Система сил приводится к паре сил. 3. , , − система сил имеет равнодействующую, которая не проходит через центр приведения. Ее линия действия определяется уравнениями 4. , , − система сил приводится к динамическому винту (силе и паре, лежащей в плоскости, перпендикулярной силе). Момент пары сил динамического винта . Ось динамического винта определяется уравнениями . 5. , − уравновешенная система сил. Пример 1.4.1. Привести систему сил (рис. 1.4.1) к простейшему виду, если F1 = 5 Н, F2 = 15 Н, F3 = 10 Н, F4 = 3 Н, a = 2 м. Решение: 1. За центр приведения выберем начало координат – точку O (рис. 1.4.2) и укажем углы a и b, определяющие положение силы . 2. Найдем проекции главного вектора на оси координат: , , . Откуда Н, Н, Н, Н. 3. Вычислим проекции главного момента относительно точки О на оси координат: , , , Откуда Н·м, Н·м, Н·м, Н·м. 4. Найдем величину скалярного произведения главного вектора и главного момента . Так как , то система сил приводится к правому динамическому винту. Вектор момента пары динамического винта и главный вектор совпадают по направлению. 5. Уравнения оси динамического винта имеет вид: или с учетом найденных значений: или . Для построения оси динамического винта найдем точки A и B ее пересечения с координатными плоскостями Oxy и Oyz, соответственно –1,703 м –0,203 м 1,063 м 1,995 м 6. Определим момент пары сил динамического винта Н·м. 7. По координатам точек A и B изобразим ось динамического винта (рис. 1.4.3). В произвольной точке этой оси укажем силу, равную главному вектору и вектор момента пары . Задача 1.4.1. Имеет ли равнодействующую система сил, для которой главный вектор и главный момент относительно центра О . Ответ: да. Задача 1.4.2. Имеет ли равнодействующую система сил, для которой главный вектор и главный момент относительно центра О . Ответ: нет. Задача 1.4.3. Определить расстояние от центра приведения О долинии действия равнодействующей системы сил (рис. 1.4.4), если ее главный вектор R = 15 Н и главный момент МО = 30 Н·м. Ответ: 2 м. Задача 1.4.4. Определить угол между главным вектором и главным моментом изображенной на рисунке 1.4.5 системы сил, принимая за центр приведения точку O, если F1 = F2 = 2 Н, момент пары сил M1 = 3 Н·м, OА = 1,5 м. Ответ: α = 0º. Задача 1.4.5. Определить угол между главным вектором и главным моментом изображенной на рисунке 1.4.6 системы сил, принимая за центр приведения точку О, если F1 = F2 = F3 = 10 Н, a = 3 м. Ответ: α = 135º. Задача 1.4.6. Найти главный вектор и главный момент системы сил, изображенной на рисунке 1.4.7, если F1 = F2 = F3 = 7 Н, а ОА = ОВ = ОС = 2 м. За центр приведения принять точку О. Ответ: R = 0, МО = 17,146 Н·м.
Задача 1.4.7. Привести систему сил, приложенных к вершинам параллелепипеда (рис. 1.4.8), к простейшему виду, если F1 = 16 Н, F2 = 12 Н, F3 = 20 Н, a = с = 2,4 м, b=1,8 м. Ответ: система сил приводится к паре сил с моментом М = 48 Н·м. Задача 1.4.8. Привести систему сил, приложенных к вершинам куба (рис. 1.4.9), к простейшему виду, если F1 = 15 Н, F2 = 40 Н, F3 = 25 Н, Ответ: система сил приводится к паре сил с моментом М = 63,65 Н·м. Задача 1.4.9. Привести систему сил, приложенных к правильной четырехугольной пирамиде, как показано на рис. 1.4.10, к простейшему виду, если F1 = F2 = F3 = F4 = 1 Н, F5 = 2,83 Н, АВ = AS = 2 м. Ответ: система сил уравновешена.
Задача 1.4.10. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.11), к простейшему виду, если F1 = F5 = 10 Н, F3 = 40 Н, F4 = 15 Н, F2 = 9 Н, a = 2,4 м, b = 3,2 м, c = 1 м. Ответ: система сил приводится к равнодействующей R = 32 Н, линия действия которой параллельна оси Oy и проходит через точку А (0,9; 0; 0). Задача 1.4.11. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.12), к простейшему виду, если F1 = F3 = 3 Н, F2 = F6 = 6 Н, F4 = F5 = 9 Н, a = 3 м, b = 2 м, c = 1 м. Ответ: система сил уравновешена. Задача 1.4.12. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.13), к простейшему виду, если F1 = F4 = F5 = 50 Н, F2 = 120 Н, F3 = 30 Н, a = 4 м, b = 3 м, c = 5 м. Ответ: система приводится к равнодействующей R = 80 Н, линия действия которой параллельна оси Oy и проходит через точку А (0,0,10). Задача 1.4.13. Привести систему сил, приложенных к вершинам куба (рис. 1.4.14), к простейшему виду, если a = 1 м, F1 = 866 Н, F2 = F3 = F4 = F5 = 500 Н. При решении принять . Ответ: система приводится к равнодействующей R = 7,07 Н.
Задача 1.4.14. Привести систему сил, приложенных к правильной треугольной пирамиде (рис. 1.4.15), к простейшему виду, если F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F6 = 1 Н, АВ = AS = 2 м. Ответ: система сил приводится к динамическому винту с R = 1,41 Н и М = 1,73 Н·м, ось силового винта проходит через вершину S перпендикулярно основанию пирамиды. Задача 1.4.15. Вес радиомачты с основанием G = 140 кН. К мачте приложены сила натяжения антенны F = 20 кН и равнодействующая сил давления ветра P = 50 кН; обе силы горизонтальны и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 1.4.16). Определить результирующую реакцию грунта, в котором уложено основание мачты. Ответ: распределенная система сил реакции грунта приводится к левому динамическому винту с силой равной 150 кН и парой с моментом 60 кН∙м. уравнение центральной винтовой оси имеет вид . Центр тяжести Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести частиц данного тела. , или
Для определения положения центра тяжести однородных тел используют метод симметрии, метод разбиения на тела простой формы с известным положением центров тяжести, а также метод отрицательных масс (линий, площадей, объемов). Пример 1.5.1.Определить координаты центра тяжести плоской фермы (рис. 1.5.1), составленной из однородных стержней с одинаковым погонным весом. Решение: 1. Применим метод разбиения, то есть представим ферму как совокупность семи стержней. 2. Найдем координаты центра тяжести фермы по формулам: ; , где , , – длина и координаты центра тяжести стержня с номером . Длины и координаты центров тяжести стержней:
Тогда , Пример 1.5.2. Торцевая стена ангара (рис. 1.5.2) имеет форму полукруга 1 радиуса с прямоугольным дверным проемом 2 высотой и шириной Определить координаты центра тяжести стены. Решение: 1. Применим методы симметрии и отрицательных площадей, рассматривая полукруг 1 и прямоугольный вырез 2. 2. Найдем координаты центра тяжести стены. Поскольку ось Оy является осью симметрии, то координата Координату центра тяжести пластины определим по формуле где , , , – площади и координаты центров тяжести фигур 1 и 2. Площади и координаты центров тяжести фигур: Тогда Задачи 1.5.1 – 1.5.4.Определить координаты центров тяжести плоских ферм (рис. 1.5.3 – 1.5.6), составленных из однородных стержней с одинаковым погонным весом. Ответы к задачам 1.5.1 – 1.5.4:
Задачи 1.5.5 – 1.5.7. Определить координаты центров тяжести однородных составных линий (рис. 1.5.7 – 1.5.9). Ответы к задачам 1.5.5 – 1.5.7:
Задача 1.5.8. Изогнутая под прямым углом однородная проволока подвешена на нити (рис. 1.5.10). Найти соотношение между длинами участков AD и AE, при котором участок AE находится в горизонтальном положении. АВ = 0,3 l1. Ответ: Задача 1.5.9. Определить координаты центра тяжести однородной проволоки (рис. 1.5.11), если a = 3 м, b = 2 м, c = 1,5 м. Ответ: xC = 1,69 м, yC = 1,38 м, zC = 1,33 м. Задача 1.5.10. Однородный замкнутый контур, ограничивающий полукруг, подвешен на нити (рис. 1.5.12). Определить угол α между горизонталью и диаметром полуокружности. Ответ: α = 68,74º. Задачи 1.5.11 – 1.5.14.Определить координаты центров тяжести однородных плоских фигур (рис. 1.5.13 – 1.5.16). Ответы к задачам 1.5.11 – 1.5.14:
Задача 1.5.15. Подставка для цапфы подшипника представляет собой деталь, состоящую из опоры в виде параллелепипеда и шпонки в форме куба (рис. 1.5.17). Определить координаты центра тяжести подставки. Размеры указаны в миллиметрах. Ответ: Задача 1.5.16. Цапфа подшипника скольжения представляет собой деталь, состоящую из параллелепипеда и цилиндрической опоры (рис. 1.5.18). Определить координаты центра тяжести цапфы. Размеры указаны в миллиметрах. Ответ: , , Задача 1.5.17. Однородное тело, сечение которого изображено на рисунке 1.5.19, состоит из полушара, цилиндрической части и кругового конуса. Определить координаты центра тяжести тела. Размеры указаны в миллиметрах. Ответ: , , Задача 1.5.18. Ствол танковой пушки имеет форму усеченного конуса длины (рис. 1.5.20). Наружный диаметр ствола в месте крепления к казенной части пушки наружный диаметр в сечении, соответствующем дульному срезу канала ствола, Калибр пушки d =100 мм. Определить координату центра тяжести ствола. Ответ: Задача 1.5.19. Определить координаты центра тяжести однородного тела, состоящего из двух прямоугольных параллелепипедов (рис. 1.5.21). В нижнем параллелепипеде сделан вырез в форме четверти цилиндра с радиусом основания R = 10 см. Размеры на рисунке указаны в см. Ответ: xC = 17,1 см, yC = 20,99 см, zC = 7,84 см. Задача 1.5.20. Определить координаты центра тяжести однородного тела (рис. 1.5.22), состоящего из треугольной призмы и параллелепипеда с вырезом. Размеры на рисунке указаны в см.
Ответ: xC = 20,14 см, yC = 35,14 см, zC = 5 см.
Часть 2. Кинематика Кинематика точки Существуют три аналитических способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный. При векторном способе радиус-вектор движущейся точки задается как функция времени . Векторы скорости и ускорения точки равны соответственно первой и второй производной по времени от радиус-вектора: , . Связь между радиус-вектором и декартовыми координатами точки выражается равенством: , где , , – орты осей координат. При координатном способе закон движения точки в декартовой системе координат дается заданием трех функций: , , . Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также модули скорости и ускорения точки определяются по формулам: , , , , . При естественном способе задается траектория точки и закон движения точки по траектории , где криволинейная координата отсчитывается вдоль дуги от некоторой фиксированной точки на траектории. Алгебраическое значение скорости определяется по формуле , а ускорение точки равно геометрической сумме касательного и нормального ускорений, т.е. , , , , – радиус кривизны траектории в данной точке. Пример 2.1.1. Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям , (х ,у – в м, t – в с). Найти: – уравнение траектории; – скорость и ускорение в начальный момент; – высоту и дальность обстрела; – радиус кривизны в начальной и в наивысшей точках траектории. Решение: 1. Получим уравнения траектории снаряда, исключая параметр t из уравнений движения . Траектория снаряда – это участок параболы (рис. 2.1.1), имеющий ограничивающие точки: начальную с координатами х = 0, у = 0 и конечную, для которой х = L (дальность полета), у = 0. 2. Определим дальность полета снаряда, подставив у = 0 в уравнение траектории. Откуда найдем L = 24000 м. 3. Скорость и ускорение снаряда найдем по проекциям на оси координат:
В начальный момент времени v0 = 500 м/с, а = 10 м/с2. 4. Для определения высоты полета снаряда найдем время t1 полета до этой точки. В высшей точке проекция скорости на ось y равна нулю (рис. 2.1.1), , откуда t1 = 40 с. Подставив t1 в выражение для координаты у, получим значение высоты Н = 8000 м. 5. Радиус кривизны траектории , где . Откуда м; м. Пример 2.1.2.В кривошипно-ползунном механизме (рис. 2.1.2) кривошип 1 вращается с постоянной угловой скоростью рад/с. Найти уравнения движения, траекторию и скорость средней точки М шатуна 2, если ОА = АВ = 80 см. Решение: 1. Запишем уравнения движения точки M в координатной форме (рис. 2.1.3)
2. Уравнение траектории получим, исключив время t из уравнения движения: Траектория точки М – эллипс с центром в начале координат и полуосями 120 см и 40 см. 3. Скорость точки определим по проекциям на оси координат Откуда Задача 2.1.1.По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории в координатной форме.
Задача 2.1.2. Найти уравнение траектории в координатной форме и закон движения точки по траектории, если даны уравнения ее движения в декартовых координатах. За начало отсчета дуговой координаты s принять начальное положение точки.
Задача 2.1.3. Движение точки задано уравнениями , ( – в см, – в с). Найти уравнение траектории точки в координатной форме, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в момент времени с. Изобразить траекторию точки и найденные векторы скорости и ускорений на чертеже. Ответ: ; v1 = 3,56 см/с; a1 = 1,31 см/с2; aτ = 0,61 см/с2, an = 1,16 см/с2, ρ = 10,93 см. Задача 2.1.4. Движение точки задано уравнениями , ( – в см, – в с). Найти уравнение траектории точки, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки в момент времени . Найти радиус кривизны траектории. Изобразить траекторию точки и найденные векторы скорости и ускорений на чертеже. Ответ: ; v0 = 0; a0 = 7,2 см/с2; aτ = 7,2 см/с2, an = 0, ρ = ∞. Задача 2.1.5. Движение точки задано уравнениями , Ответ: , , , , , . Задача 2.1.6. Движение точки задано уравнениями , ( – в см, – в с). Найти уравнение траектории точки, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в момент времени t1 = 1,5 с. Изобразить траекторию точки и найденные векторы скорости и ускорений на чертеже. Ответ: ; v1 = 3,85 см/с; a1 = 3,49 см/с2; aτ = 2,01 см/с2, an = 2,85 см/с2, ρ = 5,2 см.
Задача 2.1.7. Стержень (рис. 2.1.4) движется в плоскости так, что его концы все время остаются на осях координат. Угол j, образуемый стержнем с осью , меняется по закону рад. Найти уравнения движения и траекторию точки стержня, ее скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в момент времени, когда , если AB = 10 см, AD = 6 см. Ответ: ; ; ; v1 = 9,42 см/с; a1 = 9,87 см/с2; aτ = 0, an = 9,87 см/с2, ρ = 9 см.
Задача 2.1.8. Трубка 1 (рис. 2.1.5) вращается в плоскости Oxy с постоянной угловой скоростью ω. Шарик 2 скользит по трубке согласно закону . Найти уравнения движения шарика в декартовых координатах, законы изменения его скорости и ускорения, а также радиус кривизны траектории шарика в той точке, которую шарик пройдет со скоростью u. Ответ: , , , , . Задача 2.1.9.Точка движется по окружности радиуса 8 м по закону Ответ: м/с, м/с2. Задача 2.1.10.Точка, двигаясь равнозамедленно по окружности, за 0,5 с прошла путь 2 м, равный половине длины окружности. Определить скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения точки при t = 0,5 с, если ее начальная скорость равна 5 м/с. Ответ: v = 3 м/с; a = 14,69 м/с2; aτ = 4 м/с2, an = 14,14 м/с2. Задача 2.1.11.Точка движется по окружности радиуса 1,5 м. Когда угол между векторами скорости и ускорения точки составляет 60°, а модуль ускорения равен 7,5 м/с2. Определить скорость точки, касательное и нормальное ускорения в этот момент движения. Ответ: v = 3,12 м/с; aτ = 3,75 м/с2, an = 6,5 м/с2. Задача 2.1.12.Точка движется по некоторой траектории по закону Ответ: 10,39 м. Задача 2.1.13.Точка движется по дуге окружности радиуса R так, что центральный угол , опирающийся на эту дугу, изменяется по закону . Найти для точки: 1) закон движения в естественной форме; 2) касательное и нормальное ускорения точки в те моменты времени, когда и когда угол наибольший. Ответ: 1) ; 2) , , ; , , 2018-06-29 |
1686 |
Обсуждений (0) |
|
5.00
из
|
|
Обсуждение в статье: Приведение произвольной системы сил к простейшему виду |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы