Простейшие движения твердого тела
К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное и вращательное. Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, взятая в теле, остается параллельной своему начальному положению. Теорема. При поступательном движении все точки твердого тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени равные скорости и ускорения. Вращательным называется движение твердого тела, при котором все точки некоторой прямой, связанной с телом, остаются неподвижными во время движения. Эта прямая называется осью вращения. Рис. 2.2.1 Положение тела определено, если задан угол между плоскостями и , проходящими через ось вращения ( с единичным направляющим вектором ). (рис. 2.2.1). Плоскость неподвижна, а плоскость жестко связана с телом. Угол измеряется в радианах и изменяется с течением времени, – уравнение вращательного движения твердого тела. Угловая скорость характеризует изменение угла поворота с течением времени. Угловое ускорение – характеризует быстроту изменения угловой скорости. Если угловая скорость постоянна, то вращение называется равномерным и происходит по закону . Если угловое ускорение постоянно, то вращение называется равнопеременным и происходит согласно уравнениям: , . Модули скорости, ускорения, касательного, нормального ускорений точки вращающегося тела, находящейся на расстоянии от оси вращения, определяются по формулам: , , , , Ускорение точки составляет угол с направлением нормали, при этом . Пример 2.2.1.Маховое колесо радиуса начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя. Через 10 мин после начала движения оно имеет угловую скорость, равную . Определить угловое ускорение колеса; скорость и ускорение точки на ободе колеса и число оборотов через 10 мин после начала вращения. Решение: 1. Колесо вращается равноускоренно, т.е. его угловое ускорение ε постоянно. При этом угловая скорость и угол поворота колеса изменяются по законам: где , т.к. движение начинается из состояния покоя. Подставляя и , находим причем , где N – число оборотов колеса. Тогда оборотов. 2. Скорость точки на ободе колеса определяется по формуле и равна м/с. Скорость направлена по касательной к окружности радиуса R, т.е. перпендикулярно радиусу ОМ. 3. Ускорение точки на ободе колеса складывается из касательного и нормального ускорений: . Значения касательного и нормального ускорений соответственно равны: . Модуль ускорения точки равен Векторы скорости и ускорения точки показаны на рисунке 2.2.2. Подставляя числовые значения, находим: aτ = 0,628 см/с2, an = 47,37 м/с2, a = 47,4 м/с2.
рис. 2.2.2 рис. 2.2.3 рис. 2.2.4 Пример 2.2.2.Зубчатые колеса 1 и 2 радиусов r1 и r2, соответственно, находятся во внешнем зацеплении (рис. 2.2.3). Колесо 1 имеет в данный момент угловую скорость ω1 и угловое ускорение ε1. Найти угловую скорость и угловое ускорение колеса 2, а также касательные и нормальные ускорения находящихся в соприкосновении точек колес. Решение: 1. Скорости точек соприкосновения колес, находящихся в зацеплении, равны, т.е. , откуда в любой момент времени. 2. Найдем угловое ускорение колеса 2:
Отсюда следует, что угловые ускорения колес связаны такой же зависимостью, как и угловые скорости, а касательные ускорения точек соприкосновения колес равны между собой: Нормальные ускорения точек соприкосновения колес определяются формулами . Направления векторов , , , показаны на рисунке 2.2.4. Задача 2.2.1. Диск радиуса 2 м вращается равномерно вокруг неподвижной оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр, с угловой скоростью, соответствующей 300 об/мин. Найти угловую скорость и угловое ускорение диска, а также скорость и ускорение точки, расположенной на ободе диска. Ответ: ω = 31,4 рад/с, ε = 62,8 рад/с, v = 62,8 м/с, a = 1973 м/с2. Задача 2.2.2. Тело, вращающееся равноускоренно из состояния покоя, сделало за секунд N оборотов. Найти угловое ускорение тела. Ответ: . Задача 2.2.3. Колесо, сделав N оборотов, остановилось через t секунд после начала движения. Предполагая, что вращение равнозамедленное, найти начальную угловую скорость колеса. Ответ: . Задача 2.2.4. В момент выключения двигателя ротор вращался с угловой скоростью 20p рад/c. Через сколько секунд двигатель остановится, если ротор вращается равнозамедленно с угловым ускорением 20p рад/c2. Сколько оборотов сделает ротор до остановки? Ответ: t = 10 с, N = 500 об. Задача 2.2.5. В ременной передаче шкив диаметра мм начинает вращаться из состояния покоя с постоянный угловым ускорением 0,1p рад/c2, приводя во вращение шкив диаметра мм. Через какое время после пуска шкив диаметра будет обладать угловой скоростью, соответствующей 200 об/мин? Ответ: 40 с. Задача 2.2.6. Тело вращается вокруг неподвижной оси. В некоторый момент времени ускорение точки, расположенной на расстоянии 0,5 м от оси вращения, равно 4 м/c2 и составляет с радиусом угол 60°. Найти в этот момент времени угловую скорость и угловое ускорение тела, а также скорость, касательное и нормальное ускорения точки, расположенной на расстоянии 1,5 м от оси вращения. Ответ: ω = 2 рад/с, ε = 6,93 рад/с, v = 3 м/с, a = 10,4 м/с2. Задача 2.2.7. Грузы 1 и 2 (рис. 2.2.5) прикреплены к тросам, намотанным на ступенчатый барабан с радиусами ступеней м, м. Груз 1 опускается с постоянным ускорением м/с2 и имеет в данный момент времени скорость м/с. Определить в этот же момент времени угловые скорость и ускорение барабана, скорость и ускорение груза 2 и точки А барабана. Ответ: , v2 = vA = 2 м/с, a2 = 1 м/с2, aA = 20,02 м/с2. Задача 2.2.8. Диск вращается равноускоренно из состояния покоя. В тот момент, когда угловая скорость диска равна 4 рад/с, ускорение точки, находящейся от оси вращения на расстоянии 1 м, равно 20 м/с2. Найти ускорение точки, находящейся на расстоянии 1,5 м от оси вращения, в момент времени 0,5 с. Ответ: а = 56,92 м/с2.
рис. 2.2.5 рис. 2.2.6 рис. 2.2.7
Задача 2.2.8. Зубчатое колесо 1 радиуса 0,8 м вращается согласно закону рад и находится в зацеплении с колесом 2 радиуса 0,5 м (рис. 2.2.6). Определить угловые скорости колес в момент времени ( – в секундах), число оборотов, совершенных колесом 2 за это время. Ответ: : ω1 = 62,8 рад/с, ω2 = 100,5 рад/с, N = 16 об. Задача 2.2.9. В зубчатой передаче движение от ведущего колеса 1 радиуса 0,2 м через блок колес 2 передается колесу 3 радиуса 0,8 м (рис. 2.2.7). Определить угловую скорость колеса 3 в момент времени 2 с, если колесо 1 вращается согласно закону , . Ответ: рад/с. Задача 2.2.10. Редуктор (рис. 2.2.8) состоит из четырех зубчатых колес, жестко закрепленных на валах. Вал I вращается с угловой скоростью рад/с. Определить угловую скорость вала II, если число зубьев на соответствующих колесах . Ответ: . Задача 2.2.11. Двухступенчатый редуктор (рис. 2.2.9) состоит из конической и цилиндрической зубчатых передач с числом зубьев колес , , , . Вал I вращается с угловой скоростью рад/с. Все зубчатые колеса жестко закреплены на валах. Определить угловую скорость вала II. Ответ: рад/с.
рис. 2.2.8 рис. 2.2.9 рис. 2.2.10
Задача 2.2.12. Угловая скорость зубчатого колеса 1 изменяется по закону (рис. 2.2.10). Колесо 1 находится во внешнем зацеплении с зубчатым колесом 2, жестко соединенным с валом. На вал намотана нить, несущая груз 3. Определить скорость и ускорение груза в момент времени t = 1 с, если радиусы колес и вала соответственно равны: м, м, м. Ответ: , , груз движется вверх замедленно. Задача 2.2.13. Механизм состоит из зубчатой рейки 1, блока зубчатых колес 2, зубчатого колеса 3 со шкивом 4, ступенчатого шкива 5 и груза 6 (рис. 2.2.11). Груз опускается по закону ( – в сантиметрах, – в секундах). В момент времени t = 2 с определить скорости и ускорения точек А, В и С, а также скорость и ускорение рейки, если см, см, см, см, см, см, Ответ: v1 = vA = 80 см/с, a1 = 40 см/с2, aA = 1600,5 см/с2, vB = 40 см/с,
рис. 2.2.11 рис. 2.2.12 Задача 2.2.14. Механизм состоит из зубчатой рейки 1, зубчатых колес 2, 4, 6 со шкивами 3, 5, 7 и груза 8 (рис. 2.2.12). Рейка движется вверх ускоренно и в данный момент времени имеет скорость v1 = 12 м/с и ускорение . В этот же момент времени определить скорости и ускорения точек А, В и С, а также скорость и ускорение груза, если см, см, см, см, см, Ответ: vA = 6 см/с, aA = 2,69 см/с2, vB = 9 см/с, aB = 3,13 см/с2, vC = v8 = 4 см/с, aC = 1,55 см/с2, a8 = 1,33 см/с2. Задача 2.2.15. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет в начальный момент времени угловую скорость . Известно, что во все время движения ускорение любой точки образует постоянный угол 45° с радиусом вращения. Найти зависимости угловой скорости и углового ускорения от времени. Ответ: .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (665)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |