Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость проверить ее. Поскольку проверку производят статистическими методами, ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том» что будет принята неправильная гипотеза. Правильное решение может быть принято также в двух случаях: гипотеза принимается; причем и в действительности она правильная; гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать q . Ее называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста мы рискуем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).
Степень свободы параметра . Степень свободы у какого-либо параметра определяют числом опытов, по которым рассчитывают данный параметр, за вычетом количества констант, найденных по этим опытам независимо друг от друга. Критическая область. Область принятия гипотезы. Для проверки нулевой гипотеза используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Ее обозначают t если она распределена по закону Стюдента, X 2 - по закону "хи квадрат", F- по закону Фишера, G - по закону Кохрэна. Обозначим эту величину К Статистическим критерием (или просто критерием) называется случайная величина К, служащая для проверки нулевой гипотезы. Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия. Наблюдаемым значением (Кнабл) называют значение критерия, вычисленное по выборкам. . После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества; одноиз них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое - при которых она принимается. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений)называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области - гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы - гипотезу принимают. Поскольку критерий К - одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами, и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют. Критическими точками Ккр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Различают, одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области. Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К>Ккр , где Ккр- положительное число. Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К<Ккр , где Ккр- отрицательное число. Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую областью. Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами K<K1, K>K2, где К2>К1. Критерий Стьюдента t-критерий Стьюдента применяется, когда необходимо сделать статистический вывод, равно ли математическое ожидание M{Х} генеральной совокупности некоторому предполагаемому значению С или когда требуется построить доверительный интервал для M{Х}. Обнаружено, что случайная величина t (при независимых наблюдениях) распределена по закону Стьюдента, если Х распределена нормально: где N- общее число наблюдений (объем выборки), Х - среднее арифметическое случайной переменной Х; S{Х), S{X}- среднеквадратическое отклонение соответственно единичных значений Х и среднего арифметического Х. На рис.1.2 показаны кривые дифференциального закона распределения Ф( t ) для различных степеней свободы f=N-1 , по которым вычисляют несмещенную оценку дисперсии S2{ Х } . При сравнительно небольших N кривая Ф( t ) более пологая, чем нормальный закон распределения Ф(Х). При N----- кривая Ф( t ) приближается к кривой нормированного нормального распределения. Из рис.1.2 видно, что t-распределение симметрично относительно t=0, поэтому в таблицах, где даны критические значения tкр = t q,f для принятого уровня значимости q и имеющегося числа степеней свободы f , задаются только положительные t кр . Если при расчете t по формуле (1.3) при подстановке в нее вместо М{X} предполагаемого значения С окажется, что t< t кр , то можно сделать вывод о том, что гипотеза М{X} = С не противоречит результатам наблюдения при принятой уровне значимости q . В противном случае эта гипотеза отвергается с тем же уровнем значимости q . При этом остается возможность совершить ошибку первого рода, т.е. отвергнуть верную гипотезу с вероятностью q . - Рассмотрим использование t-критерия Стьюдента для построения доверительного интервала для математического ожидания. При t=tкр разность [X - M{Х}] в (1.3) равна половине ширины доверительного интервала __ т.е. Доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью P = I - q находится математическое ожидание M{X} , определяется следующими выражениями: Поскольку математическое ожидание М{X} есть истинное, объективно существующее неслучайное значение, а границы интервала - случайные величины (за счет наличия в них случайных величин X и S{X}), то правильно будет говорить о том, что доверительный интервал (1.5), (1.6) с вероятностью Р = I - q накрывает М { X }. Критерий Фишера Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону. F-критерий Фишера называют дисперсионным отношением, так как он формируется как отношение двух сравниваемых несмещенных оценок дисперсий:
причем в числителе ставится большая из двух дисперсий. Расчетное F сравнивают с _____________, которое находятиз таблиц, для степеней свободы _____________________________________где N1 - число элементов выборки, по который вычислена _______ . N2 - число элементов выборки, по которым получена оценка дисперсии ________. Если F < F кр , то принимается нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий _________________ при принятом уровне значимости q . На рис. 1.3 показаны кривые распределения _____. Зачернена область критических значений F . На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить .точность приборов, инструментовили методов измерений. Предпочтительнее тот прибор, инструмент или метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию. . .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (297)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |