Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп
Представление группы называется унитарным, если для всех матрица является унитарной, т.е. . Здесь обозначает матрицу, транспонированную к , где , а – величина, комплексно – сопряженная к . В этом параграфе мы покажем, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым. Матрица называется эрмитовой, если , и положительно определенной, если для каждого ненулевого столбца . Следующая лемма тривиальна. Лемма 2.1. Пусть – произвольная невырожденная матрица. Тогда – положительно определенная эрмитова матрица. Кроме того, сумма положительно определенных эрмитовых матриц также является положительно определенной эрмитовой матрицей. Лемма 2.2. Для любой положительно определенной эрмитовой матрицы найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что . Доказательство. Пусть . Тогда и . Пусть
.
Положим
Тогда
и – положительно определенная эрмитова матрица. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться индукцией по порядку матрицы . Теорема 2.3. Пусть – конечная группа. Для каждого представления группы найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что является унитарной матрицей для всех . Доказательство. Положим
Тогда в силу леммы 2.1 является положительно определенной эрмитовой матрицей. Таким образом, найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что и поэтому . Так как
то , т.е. ; поэтому – унитарная матрица. Теорема 2.4. Каждое представление конечной группы вполне приводимо. Доказательство. Пусть – приводимое представление конечной группы , и пусть разлагается следующим образом:
В силу предыдущей теоремы существует невырожденная матрица , такая, что – унитарная матрица. Так как верхнетреугольная, то имеет вид
Поскольку , мы получаем
откуда следует, что .
Лемма Шура Лемма 3.1. (Лемма Шура.) Пусть и – неприводимые представления группы степеней и соответсвенно. Пусть – такая – матрица, что
Тогда либо
,
либо и невырожденная. Доказательство. Допустим, что . Покажем, что тогда имеет место . Предположим, что либо , либо и вырожденна. Тогда существуют матрицы и , такие, что
где . Так как , то
где
Таким образом, , если , и , если . В любом случае или приводимо, что противоречит условию. Теорема 3.2. Пусть – неприводимое представление группы . Пусть – такая матрица, что для всех . Тогда , где . Доказательство. Пусть – некоторое собственное значение матрицы . Тогда , а, кроме того, откуда в силу леммы Шура следует, что Теорема 3.3. Пусть – абелева группа. Тогда каждое ее неприводимое представление имеет степень 1. Доказательство. Пусть – неприводимое представление группы . Поскольку коммутирует с каждой матрицей , из предыдущей теоремы следует, что , где . Поскольку неприводимо, отсюда вытекает, что его степень равна 1.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (276)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |