Пусть
– группа и
– ее подгруппа. Обозначим через
и
порядки групп
и
соответственно. Если
– некоторая функция на
, то через
обозначим ее ограничение на
. В случае когда
– функция классов на
,
также является функцией классов на
. Если
– характер некоторого представления
группы
, то
представляет собой характер ограничения
представления
на
.
По функции
, заданной на
, определим функцию
на
правилом
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1214.png)
полагая
для
, не принадлежащих
. Отметим, что
является функцией классов на
, даже еслм
не является функцией классов на
. Если
не сопряжен ни с каким элементом из
, то
.
Лемма 5.1. Пусть
– функция классов на группе
, а
– функция классов на подгруппе
группы
. Тогда
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1238.png)
Доказательство. Имеем
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1240.png)
Вклад в сумму дают лишь такие пары
, что
. Поэтому, суммируя по тем парам
, для которых
при некотором
, получаем
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1252.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1254.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1256.png)
Если
– характер некоторого представления группы
, то назовем
индуцированным характером группы
и скажем, что
индуцирован с
. Мы хотим показать, что каждый индуцированный характер действительно является характером некоторого представления группы
.
Пусть
– множество представителей левых смежных классов группы
по
:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1274.png)
Для представления
подгруппы
определим матрицу
так:
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1281.png)
где для
, не содержащихся в
, полагаем
. Это обобщение правого регулярного представления группы
. Мы покажем, что
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1289.png)
– представление группы
степени
, где
, а
– степень
. При фиксированных
и
множество
содержит по одному представителю из каждого левого смежного класса по
, поэтому среди матриц
, лишь одна ненулевая. Аналогично, множество
содержит по одному представителю из каждого правого смежного класса по
и среди матриц
, также лишь одна ненулевая. Обозначим
-й блок матрицы
через
. Тогда
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1319.png)
Покажем, что
. Имеется единственное число
, такое, что
, и единственное число
, такое, что
. Если
, то
. Если же
, то
и
, поскольку
. В любом случае
и следовательно,
. Поскольку
, матрица
невырожденна. Таким образом
является представлением группы
.
Пусть
– характер
, а
– характер
. Тогда
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1359.png)
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1361.png)
Тем самым мы получим
. Назовем
индуцированным представлением группы
и будем говорить, что
индуцировано с
. Сказанное суммирует следующая
Теорема 5.2. Пусть
– группа и
– ее подгруппа. Пусть
– представление
степени
, а
– его характер. Тогда индуцированное представление
имеет степень
, где
, и характер
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1382.png)
Теорема 5.3. (Закон взаимности Фробениуса.) Пусть
– подгруппа в
. Пусть
– полный набор неприводимых характеров группы
, а
– полный набор неприводимых характеров группы
. Тогда
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1392.png)
в том и только том случае, когда
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1394.png)
Другими словами, если
– неприводимое представление группы
, а
– неприводимое представление
, то
является неприводимой компонентой в
кратности
тогда и только тогда, когда
является неприводимой компонентой в
кратности
.
Доказательство. Пусть
и
. В силу леммы 5.1
![](https://konspekta.net/megaobuchalkaru/imgbaza/baza13/7071401187571.files/image1415.png)