Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида y′′+py′+qy=0,где p, q − постоянные коэффициенты. 1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D>0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией y(x)=C1ek1x+C2ek2x, где C1 и C2 − произвольные действительные числа. 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D=0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: y(x)=(C1x+C2)ek1x. 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D<0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1=α+βi,k2=α−βi. Общее решение записывается в виде y(x)=eαx[C1cos(βx)+C2sin(βx)]. Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами правой частью специального вида Общее решение yОН линейного неоднородного дифференциального уравнения L(y)=b(x) есть сумма общего решения yОО соответствующего однородного уравнения L(y) = 0 и какого - либо частного решения yЧНисходного неоднородного уравнения. Для уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида это частное решение может быть найдено достаточно просто. Функцию , где Pj(x) - некоторые полиномы (многочлены), назовём квазиполиномом. По теореме о наложении решений, если yj , j=1,2,..,m - решения уравнений L(y) = bj(x), то есть решение уравнения . Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что правая часть уравнения L(y) = b(x) с постоянными коэффициентами имеет вид b(x) = P(x)eλx. В частности, если λ=α+βi - комплексное число, то наиболее общей правой частью указанного типа является функция (1) у которой P(x)и Q(x)- некоторые полиномы. Справедлив следующий результат.
С постоянными коэффициентами и правой частью вида (1) имеет частное решение , где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x) , S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x) , Q(x).
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (341)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |