Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева.
Пусть даны значения интерполируемой функции , соответствующие значения аргумента . Каждому значению аргумента ставится в соответствие частота . Требуется найти такую целую функцию , где , которая удовлетворяла бы условию наименьшего значения суммы . В данной задаче в качестве веса предлагается рассмотреть [8] , где n есть или иначе говоря n - сумма всех испытаний. Для решения нашей задачи находим коэффициенты , которые определяются из следующих уравнений ; ; …………………… ; ; После преобразований получаем следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов ; ; …………………… …………………… ; …………………… ; где Такой подход к нахождению коэффициентов имеет существенный недостаток – при повышении степени полинома хотя бы на единицу приходится переписывать все уравнения и решать систему заново. Есть другой вариант построения искомого полинома [8]. Пусть будет целая функция от степени , которая обращается в при . Положим , где - целые функции степеней , а - коэффициенты. Пусть теперь сумма первых членов выражения равняется , т.е. . Каковы в этом случае условия относительно и при которых сумма имеет наименьшее значение? Обозначим эту сумму через : , и, подставляя в нее , составляем обычным способом дифференцирования следующие уравнения: Отсюда следует: Так как есть ортогональные полиномы по построению, следовательно все слагаемые вида будут равняться 0. В результате преобразований получим выражения для коэффициентов : ; ; ……………… ; ……………… . Теперь можно представить функцию в таком виде . Легко убедиться, что для перехода от найденного выражения интерполируемой функции к целой функции степени , достаточно к левой части полученной функции приписать один новый член . Для дальнейшего перехода к целой функции степени , также удовлетворяющей условию наименьшего значения суммы , достаточно прибавить к найденному выражению функции степени , такой новый член . Таким образом, решение задачи параболического интерполирования по способу наименьших квадратов приводится к нахождению ряда Этот ряд, обладающий свойством давать посредством суммы своих первых членов приближенное представление интерполируемой функции в виде целой функции степени , удовлетворяющей требованию наименьших квадратов, называется интерполяционным рядом Чебышева. Теперь для полного решения задачи остается еще узнать, что представляют собой функции , определив через данные величины и коэффициенты при в выражении этих функций. Далее, с помощью разложения дроби по нисходящим степеням получим, что дробь , где , дает приближенное представление функции [7] с точностью до членов степени включительно. Здесь есть весовая функция, найденная ранее по методу Пирсона. Но эта дробь, у которой степень числителя на единицу меньше степени знаменателя, при разложении в непрерывную дробь всегда будет в своих неполных частных содержать переменную в первой степени. Следовательно, знаменатели ее подходящих дробей есть функции степеней ; поэтому можно положить . Что касается , то его можно приравнять . Разлагая в непрерывную дробь вида , где и - некоторые постоянные, используем найденные выше свойства функции для определения этих постоянных через данные значения . Выражения для будет иметь вид: . Выражения для коэффициентов будут следующими: . Вводя для сокращения обозначение через , запишем выражение для в таком виде: . Для выражение будет иметь вид . Что касается величин и , то они равны соответственно и . Теперь перейдем к определению коэффициентов в выражении . Для получим выражение . Это выражение весьма упростится, если мы будем считать отклонениями данных значений аргумента от его средней арифметической так, что . Тогда , а выражение для будет иметь вид . Также упростятся выражения для и . Функция станет равной , функции определяются путем последовательных подстановок выражений в формулы . При помощи этих формул можно вычислить какой угодно член ряда Чебышева . Оценка результатов интерполирования производится при помощи среднего квадратического отклонения данных значений интерполируемой функции от вычисленных по найденному уравнению параболы. Обозначим сумму квадратов отклонений через . Тогда можно написать . будет равняться , а выражать рекуррентно через по формуле . Итак, , , , , , , , , , , , . Мы видим, что в зависимости от нашей весовой функции в разложении мы получим разные системы ортогональных полиномов.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (233)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |