Определение аффинной системы координат.
Геометрия Толстиков А.В. Аналитическая геометрия Семестр 4. Лекции 3. Системы координат. Прямая линия на плоскости План 1. Аффинные системы координат на плоскости и в пространстве. 2. Основные задачи, решаемые в аффинных системах координат. 3. Формулы преобразования аффинной систем координат 4. Прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве. 5. Основные задачи, решаемые в прямоугольных системах координат. 6. Формулы преобразования прямоугольной системы координат 7. Полярная система координат. 8. Цилиндрическая система координат. 9. Сферическая система координат. 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997. 4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980. Аффинные системы координат Определение аффинной системы координат. Определение 1.1. Аффинной или общей декартовой системой координат в пространстве (на плоскости или на прямой) называется точка О пространства (данной плоскости, прямой) и базис v пространства (соответственно плоскости, прямой). Точка О называется началом системы координат. Принято вектора базиса v откладывать от точки О и совокупность точки и базиса называть репером и обозначать символом (О,v). Определение 1.2. Аффинными координатами точки A в данной аффинной системе координат (О, v) называются координаты вектора относительно базиса v. Если базис v состоит из n векторов v = (v1, v2, ..., vn), то любая точка A имеет n координат (x1, x2,... , xn), которые записываются в круглых скобках рядом с точкой A(x1, x2,... , xn). Так как однозначно раскладывается по векторам базиса, то координаты любой точки A определяются однозначно. Обратно, для любого упорядоченного набора действительных чисел (x1, x2,... , xn) существует такая единственная точка A , что вектор = x1v1 + x2v2 + ...+ xnvn. Таким образом, между всеми упорядоченными наборами (x1, x2,... , xn) действительных чисел и точками имеется взаимно однозначное соответствие. Прямые, проходящие через точку О параллельно векторам базиса, называются координатными прямыми. Каждой координатной прямой принадлежит точка О и вектор выбранного базиса. Поэтому координатная прямая является числовой осью. Плоскости, проходящие через точку О параллельно двум векторам базиса, называются координатными плоскостями. 2. Аффинная система координат на прямой. В случае прямой базис состоит из одного ненулевого вектора v = (v) и система координат (О, v) изображена на рис. 4.1. В системе координат на прямой каждая точка A прямой имеет одну координату A(x), определяему разложением вектора по базису, = xv. Тогда A(0), E(1), где v = . Систему координат на прямой можно задать еще следующими способами: Двумя различными точками О и E данной прямой. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем вектор v = (см. рис. 4.2). Точкой О, единичным отрезком О E и положительным направлением данной прямой, которое отмечается стрелкой. 3. Аффинная система координат на плоскости. В случае плоскости базис состоит из двух неколлинеарных векторов плоскости, v = (v1, v2), и система координат (О, v1, v2) изображена на рис. 4.3. В системе координат на плоскости каждая точка A плоскости имеет две координаты A(x, y), определяемые разложением вектора по базису, = xv1+ yv2. Тогда A(0, 0), E1(1, 0), E2(0, 1), где v1= , v2= . Координаты точки называются соответственно абсциссой и ординатой. Систему координат на плоскости можно задать еще следующими способами: Тремя точками О, E1, E2 плоскости, не лежащими на одной прямой. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем векторы v1= , v2= . Двумя пересекающимися числовыми осями О x , О y данной плоскости с общим началом О. Ось О x называется осью абсцисс, ось О y - осью ординат. Аффинная система координат (О, v1, v2) называется правой (левой), если поворот от вектора к вектору по кратчайшему направлению совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке). На рис. 4.3 и 4.4 представлены правые системы координат. 4. Аффинная система координат в пространстве. В случае пространства базис состоит из двух некомпланарных векторов пространства, v = (v1,v2, v3), и система координат (О, v1, v2, v3) изображена на рис. 4.5. В этой системе координат каждая точка A пространства имеет три координаты A(x, y , z), определяемые разложением вектора по базису, = xv1+ yv2 + zv3. Тогда A(0, 0, 0), E1(1, 0, 0), E2(0, 1, 0), E3(0, 0, 1), где v1= , v2= , v3= . Координаты точки называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой. Систему координат в пространстве можно задать еще следующими способами: Четверкой точек О, E1, E2, E3 пространства, не лежащими на одной плоскости. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем векторы v1= , v2= , v3= . Тремя числовыми осями О x , О y , О z , не лежащими в одной плоскости с общим началом О. Ось О x называется осью абсцисс, ось О y - осью ординат, ось О z - осью аппликат. Аффинная система координат (О, v1, v2, v3) называется правой (левой), если тройка векторов v1, v2, v3 правая (левая) На рис. 4.5 и 4.6 представлены правые системы координат, а на рис. 4.7 левая система координат. § 2. Основные задачи, решаемые в аффинные системы координат 1. Определение координат вектора по координатам его концов. Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, v1, v2, v3) и точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2). Требуется найти координаты вектора . По определению координат точки = x1v1+ y1v2 + z1v3, = x2v1+ y2v2 + z2v3. Тогда = - = (x2 - x1)v1+ (y2 - y1)v2 + (z2 - z1)v3. = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1). (2.1) Координаты вектора в базисе аффинной системе координат равны разности соответствующих координат точек B и A . Отметим, что аналогичное утверждение имеет место для векторов плоскости и прямой.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (695)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |