Численный расчёт дискретных передаточных функций многомерных систем
Если известно уравнение состояния то можно получить уравнение состояния многомерной импульсной системы . При этом матрицы G, H΄, H определяются численно в виде рядов с использованием матриц А и В по приведённым выше формулам. Реализация алгоритмов определения элементов требует операции раскрытия определителей (смотри Пример № 3). Эту задачу можно решить или классически (по известным методам), или численно. При высоком порядке системы более эффективны численные методы Фадеева, Крылова, Леверрье. Рассмотрим метод Фадеева: Во-первых, определитель системы det ( z ) (2) является характеристическим многочленом матрицы G, следовательно: Необходимо найти коэффициенты этого полинома: . Алгоритм расчёта коэффициентов по Фадееву:
Пример № 4. Рассмотрим систему второго порядка: Поиск методом Фадеева:
1) , в котором неизвестны a 1 и a 0. 2) а) б) в) 3) а) б) в) Контроль:
Во-вторых, отличен от определителя системы (III*) Для расчёта коэффициента этого определителя можно использовать найденные значения коэффициентов ai. Пусть (3)
(4)
Если подать на вход исходной системы (III*) какой-либо известный входной сигнал yp [ iT ], i = 0, 1, 2, … при нулевых остальных входных сигналах y 1 [ iT ]= y 2 [ iT ]=…= yp -1 [ iT ]= yp +1 [ iT ]=…=0 и при нулевых начальных условиях x 1 [0]= x 2 [0]=…=0, то путём непосредственных расчётов по системе (III*) (смотри задачу семинара №2) можно последовательно получить значения x [ T ], x [2 T ], …, x [ iT ]. Если подать тот же самых сигнал Yp на вход разностного уравнения (4) при нулевых начальных условиях (x [0]= x [– T ]=…=0), то дискреты xq [ iT ] уравнения (4) совпадут с сигналами xq [ iT ] вектора X [ iT ], расcчитанного по уравнению (III*).
Тогда можно показать, что:
при входном сигнале (*)
(5)
Пример № 5.
Рассмотрим систему второго порядка, своего рода (III*) при n =2.
Для системы второго порядка определить дискретную передаточную функцию при нулевых начальных условиях.
Решение: 1) det ( z ) определён в примере № 4.
2) Составляем разностное уравнение p =2, n =2, q =1:
(4΄)
3) Рассчитываем переходный процесс по исходной системе (III*) при n =2: i =0
(смотри условие (*)). i = 1
4) Определяем коэффициенты: .
Лекция №12. 25.03.2003
Частотные характеристики
Непрерывные системы Рассмотрим ММ стационарной непрерывной системы:
(1) Пусть
На основе формулы Эйлера ( ): , начальные условия нулевые.
При нулевых начальных условиях решение уравнения (1) можно получить в виде двух слагаемых x ( t )= x 1 ( t )+ x 2 ( t ). При этом с учётом принципа суперпозиции: x 1 ( t ) y 1 ( t ), x 2 ( t ) y 2 ( t ). Найдём x 1 ( t ): , где W — пока неизвестная и не зависящая от времени функция. Подставляя в уравнение (1) x 1, y 1 и их соответствующие производные, получим:
… (2)
Комплексно-частотную характеристику системы можно получить передаточной функции путём замены переменной (смотри уравнение (1) раздела 5.1.1.). Комментарий:
, … (3)
Здесь:
Смотри методические указания, страница 18.
, … (4)
где — Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ). — Фазово-частотная характеристика (ФЧХ).
Пример смотри в методических указаниях, рисунки 11 и 12. При изменении конец вектора описывает кривую, называемую АФХ — амплитудно-фазовая характеристика или Катографом Найквиста (Рисунок 21 методических указаний). Физический смысл частотной характеристики: частотная характеристика — результат анализа вынужденного движения линейной стационарной системы при гармоническом воздействии. Таким образом, . Аналогично можно определить составляющую
воздействия y 2 ( t ). То есть . … (5)
Таким образом, если на входе рассматриваемой системы действует гармонический входной сигнал, то выходной сигнал будет также гармоническим (Формула (5)) и отличающимся от входного по амплитуде в раз, а по фазе на . Здесь — АЧХ, а — ФЧХ. Замечание № 1: Так как АФХ симметрична относительно вещественной оси для положительных и отрицательных значений , то обычно ограничивают диапазон изменения : .
Замечание № 2: Иногда вместо обычной АФХ рассматривают нормированную АФХ такую, что , где , а — порядок астатизма системы, или обратную АФХ , или обратно нормированную АФХ .
Замечание № 3: Очень часто вместо АФХ используют Логарифмическую Частотную Характеристику (ЛЧХ). а) — ЛАЧХ. б) — ЛФЧХ. По оси абсцисс соответственно отмеряются либо , либо . Примеры в методических указаниях — рисунки 12, 22, 25 а) Примеры нормированных ЛЧХ — рисунки 23 и 25 б).
Дискретные системы Анализ вынужденного движения импульсной системы на воздействие y [ iT ]= Ycos [ω iT +φ0], значение которого в дискретные моменты времени образуют гармоническую решетчатую последовательность, определяет частотные характеристики системы: Частотная характеристика — АФХ дискретной системы может быть получена из ДПФ путём замены переменной , т.е.
Особенности АФХ: — периодическая функция с периодом , поэтому её можно определить для любого интервала частот указанного периода ( ) ЛЧХ дискретных систем, в отличие от ЛЧХ непрерывных систем, не обладают асимптотическими свойствами. Для восстановления указанного свойства используют билинейное W-преобразование , а также относительные ( ) и абсолютные ( ) псевдочастоты.
, т.е. и
Таким образом, при имеем: ! И при имеем: !!
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (205)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |