Основы теории множеств.
Основные понятия и определения: Множество – это совокупность элементов, объединенных некоторым признаком, свойством: множество книг в библиотеке, множество студентов в группе. Способы задания множества:
Например: множество, состоящее из четырех элементов
Например: множество натуральных чисел, меньших 20 можно задать следующим образом: В качестве характеристического свойства может выступать порождающая процедура, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов или из других объектов. Например: Во множестве могут быть выделены подмножества. Если каждый элемент множества K принадлежит множеству М, множество К называют подмножеством множества М и обозначают Например: 1) множество всех книг данного автора в библиотеке, есть подмножество всех книг в библиотеке. 2) множество студентов, обучающихся на "4" и "5" в группе есть подмножество всех студентов группы. 3) Пустое множество является подмножеством любого множества. Если одновременно А⊂В и В ⊂А, то говорят, что множества А и В равны, т.е. состоят из одних и тех же элементов. В этом случае принадлежность элемента множеству А необходима и достаточна для его принадлежности множеству В. Булеаном множества М назовем множество всех его подмножеств. Рассмотрим множеств
Подмножества В общем случае, для любого конечного множества, состоящего из n элементов, число возможных подмножеств равно Множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком, называется универсальным. Классификация множеств. Основной характеристикой множеств является количество элементов, содержащихся в этом множестве. Множество, содержащее конечное число элементов называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Количество элементов конечного множества называют его мощностью. Если множество не содержит элементов, то оно называется пустым и обозначается Два множества А и В называются эквивалентными, или, равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие. Пример: Рассмотрим множества, состоящие из букв слов:
Множества А, В и С имеют равные мощности: Бесконечное множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным. Говорят, что все элементы счетного множества пронумерованы. В противном случае бесконечное множество будет несчетным. Изображение множеств. Множества изображаются при помощи диаграмм Эйлера-Венна (кругов на плоскости). Элементы множества изображаются точками, внутри круга, если они принадлежат данному множеству и вне его, если не принадлежат.
Основными операциями над множествами являются операции пересечение, объединение, разность, симметрическая разность и дополнение. Пересечением множеств А и В называется множество Пример: Если При помощи диаграмм Эйлера-Венна пересечение множеств изображается следующим образом:
Объединением множеств А и В называется множество
Пример: Если При помощи диаграмм Эйлера-Венна объединение множеств изображается следующим образом: 1.Разностью множеств А и В называется множество
Пример: Если
По диаграмме видно, что 2. Симметрической разностью А и В называется множество
Пример: Если
3.Дополнением множества А до множества U называется множество
При помощи диаграмм Эйлера-Венна дополнение множества изображается следующим образом:
Свойства операций. Операции над множествами обладают рядом свойств, похожих на свойства операций сложения и умножения чисел.
Пример. Доказать справедливость следующего равенства и проверить результат на диаграмме Эйлера-Венна: Решение. Преобразуем по очереди левую и правую части данного равенства: 1) 2)
Использовали переход от разности к пересечению, закон де Моргана, свойство дистрибутивности, свойство После преобразования видно, что левая и правая части равенств одинаковые, следовательно, равенство доказано. Проверим равенство на диаграмме Эйлера-Венна.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (296)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |