Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них. Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А1+А2+ : +Аn. Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: или Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то . Решение. События "контрольная работа поступила из города А", "контрольная работа поступила из города В" и "контрольная работа поступила из города С" образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице: , т.е. . Решение. События "день ясный" и "день облачный" противоположные, поэтому , т.е. . Теорема умножения вероятностей независимых событий . При совместном рассмотрении двух случайных событий А и В возникает вопрос: Как связаны события А и В друг с другом, как наступление одного из них влияет на возможность наступления другого? Примером связи между двумя событиями служит причинная связь, когда наступление одного из событий обязательно приводит к наступлению другого, или наоборот, когда наступление одного исключает возможность наступления другого. Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности. наступило событие В, называется число . Обозначив условную вероятность , получим формулу , . Задача 1. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик. Решение. Пусть событие А состоит в том, что в семье два мальчика, а событие В - что один мальчик. Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка. Тогда , и по формуле находим . Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А. Теорема умножения вероятностей. Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: .Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле . Задача 2. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Решение. Пусть - из первой урны извлечен белый шар; - из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события и независимы. Так как , , по формуле находим . Задача 3. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать. Решение. Пусть событие А- выход из строя первого элемента, событие В- выход их строя второго элемента. Эти события независимы (по условию). а) Одновременное появление А и В есть событие АВ. Следовательно, . б) Если работает первый элемент, то имеет место событие (противоположное событию А- выходу этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий и : ; .Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть и, значит, .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (385)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |