Спектральная плотность.
Ранее было показано, что стационарный случайный процесс может быть представлен своим каноническим разложением вида: (формула 4.27) а его корреляционная функция - каноническим разложением корреляционной функции: (формула 4.28) где
Координатными функциями канонического разложения стационарного случайного процесса являются косинусы и синусы различных частот. Каноническое разложение (4.27) называется спектральным разложением стационарного случайного процесса. Спектральное разложение (4.27) может быть представлено в виде (формула 4.28) Где - фаза гармонического колебания элементарного стационарного случайного процесса случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2П); - амплитуда гармонического колебания элементарного стационарного случайного процесса -тоже случайная величина. Случайные величины являются зависимыми между собой. Между случайными величинами имеют место следующие соотношения: (формула 4.29)
Ранее было установлено, что между числовыми характеристиками случайной величины Zk и числовыми характеристиками случайной величины V k и Uk имеет место следующее равенство: (формула 4.30) Таким образом, стационарный случайный процесс может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний со случайными амплитудами Zk и случайными фазами на различных неслучайных частотах. Заметим, что даже если амплитуды колебаний Zk являются неслучайными, то все равно будет иметь место стационарный процесс за счет случайного сдвига фазы колебания на частоте . Очевидно, что коэффициенты канонического разложения корреляционной функции и набор различных частот должны зависеть от конкретного вида корреляционной функции . Эту зависимость можно получить различными способами, разлагая корреляционную функциюв числовой ряд. Так как корреляционная функциястационарного случайного процесса X ( t ) является четной функцией своего аргумента то ее на интервале (-Т, +Т) можно разложить в ряд Фурье по четным (косинусным) гармоникам: (формула 4. 31 ) где (формула 4. 3 2)
(формула 4.33) Можно доказать, что коэффициенты D1 , D2, …..Dk являются неотрицательными величинами для любой корреляционной функции kx ( r ) стационарного случайного процесса X(t). Таким образом, зная вид корреляционной функции kx ( r ), можно получить значения (дисперсии) коэффициентов канонического разложения ( Vk , Uk ) и частоты стационарного случайного процесса X(t). Дисперсию стационарного случайного процесса X(t), представленного своим каноническим разложением, найдем по формуле (формула 4.34) Таким образом, дисперсия стационарного случайного процесса X(t), представленного своим каноническим разложением, равна сумме дисперсий всех гармоник его спектрального разложения.
Рисунок 4.5 На рисунке 4.5 показан «спектр дисперсии» стационарного случайного процесса, представленного своим спектральным разложением. Очевидно, что разложение корреляционной функции в ряд будет тем точнее, чем больший интервал разложения Т будет взят. При неограниченном увеличении периода разложения корреляционной функции коэффициенты разложения корреляционной функции (4.31) будут неограниченно уменьшаться, а число их в сумме неограниченно увеличиваться. При этом величина интервала между соседними частотами-будет также стремиться к нулю. Запишем выражение (4.31) в несколько ином виде, имея в виду, что (формула 4.35)
Введем обозначение (формула 4.36) Величина представляет собой ту часть общей дисперсии стационарного случайного процесса X(t)которая приходится на k -югармонику. На рисунке 4.6 показаны зависимости и при .
Рисунок 4.6 Анализ данного рисунка 4.6 показывает, что с увеличением периода разложения ступенчатая функция будет неограниченно приближаться к плавной кривой , которая представляет собой плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра. Таким образом,
(формула 4.37) Функция называется спектральной плотностью стационарного случайного процесса X ( t ). В этом случае выражение (4.35) примет следующий вид: (формула 4.38) Таким образом, корреляционная функция и спектральная плотность стационарного случайного процесса X(t) связаны между собой косинус-преобразованием Фурье. Следовательно, спектральная плотность выражается через корреляционную функциюстационарного случайного процессаследующим образом:
(формула 4.39)
Последнее выражение можно получить предельным переходом при
Так как подынтегральная функция является четной функцией, то отсюда следует что:
(формула 4.40) Соответственно, при получаем выражение(4.39). Спектральная плотность стационарного случайного процессаобладает следующими свойствами: 1. Она является неотрицательной функцией частоты Это следует из того что предел отношения двух неотрицательных величин и не может быть отрицательным. 2. Интеграл от спектральной плотности в пределах от 0 до бесконечности равен дисперсии стационарного случайного процесса:
(формула 4.41) Графически эти два свойства спектральной плотности отображены на рисунке 4. 7 Рисунок 4.7 Кривая расположена не ниже оси абсцисс, а площадь, ограниченная этой кривой сверху, осью абсцисс снизу и осью ординат слева, равна дисперсии (заштрихованная фигура на рисунке 4. 7).
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (245)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |