Преобразование стационарного случайного процесса стационарной линейной системой
Рассмотрим преобразование стационарного случайного процесса стационарной линейной системой, описываемой линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (формула 4.115)
Этому дифференциальному уравнению можно дать следующую инженерную трактовку. На вход стационарной линейной системы Lc поступает стационарный случайный процесс Х( t ) имеющий следующие характеристики: математическое ожидание- корреляционная функция - (или спектральная плотность ) Рисунок 4.8
На выходе стационарной линейной системы Lc в установившемся режиме будет иметь место стационарный случайный процесс Y ( t ) . Требуется найти характеристики этого случайного процесса математическое ожидание - корреляционная функция- (или спектральную плотность ). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение данного уравнения, где вместо случайного процесса Х( t ) нужно взять реализацию x ( t ), а вместо случайного процесса Y ( t ) реализацию y ( t ) будет содержать два слагаемых Слагаемое ус( t ) представляет так называемые собственные колебания системы, если она выведена из равновесия. Если система Lc устойчива (а такие системы чаще всего и рассматриваются в инженерной практике), то собственные колебания в системе со временем затухают. Будем в дальнейшем считать, что система Lc устойчива. Слагаемое ув( t ) представляет собой вынужденные колебания системы Lc , которые она совершает под воздействием входного сигнала-реализации x ( t )случайного процесса X ( t ). Поэтому если рассматривать участок времени, достаточно удаленный от начала воздействия случайного процесса X ( t ) на систему Lc, когда практически все переходные процессы в ней затухнут, то можно рассматривать только вынужденные колебания системы, чем мы и будем заниматься в дальнейшем.
Применим к уравнению (4.115) преобразование Лапласа и обозначим изображение реализации входного процесса а изображение реализации выходного сигнала Рисунок 4.9 Так как вынужденные колебания устойчивой системы Lс в установившемся режиме происходят в системе спустя достаточно продолжительное время после начала воздействия входного сигнала, то начальные условия уже не будут оказывать воздействия. Поэтому уравнение (4.115) для изображений реализаций случайных процессов х( t ) и y ( t ) будут иметь вид
(формула 4.116) обозначим
тогда уравнение (4.116) можно переписать в виде (формула 4.117) Функция называется передаточной функцией стационарной линейной системы. Таким образом, мы получим в пространстве изображений простую формулу: изображение выходного сигнала на выходе стационарной линейной системы в установившемся режиме равно произведению передаточной функции этой системы на изображение входного воздействия . Рисунок 4.10
Воспользовавшись свойствами преобразований Лапласа, можно записать выражение, связывающее реализацию y ( t ) стационарного случайного процесса Y ( t ) на выходе стационарной линейной системы Lс, с реализацией х( t ) стационарного случайного процесса Х( t ), подаваемого на вход этой системы: (формула 4.118) Где - оригинал изображения Функция g ( t ) называется весовой функцией стационарной линейной системы. Выражение типа (4.118) называется сверткой функций g ( t ) и х( t ) и уже встречалось при рассмотрении композиции двух случайных величин: плотность распределения суммы двух независимых случайных величин Х1 и Х2 равна свертке плотностей распределения этих случайных величин Операция (4.118) символически можно представить так: (формула 4.119) Следовательно, имеет место соотношение (формула 4.120) которое связывает выходной сигнал (или его изображение) с входным сигналом (или его изображением). Из теории автоматического управления известно, что если имеются две последовательно соединенные стационарные линейные системы, Рисунок 4.11 изображенные на рисунке 4.11 с передаточными функциями и то передаточная функция всей системы Lcбудет (формула 4.121) этому соответствует схема, изображенная на рисунке 4.12. Рисунок 4.12 Если имеется система, охваченная отрицательной обратной связью изображенная на рисунке 4.12, то этой системе соответствует схема в изображенная на рисунке 4.13. Рисунок 4.12 Рисунок 4.13
Если обратная связь положительная (рисунок 4.14), то этой системе соответствует схема, изображенная на рисунке 4.15 Рисунок 4.14 Рисунок 4.15 Следовательно, изображение выходного сигнала на выходе системы (рисунок 4.12) будет иметь вид (формула 4.122)
а на выходе системы, изображенной на рисунке, 4.14 будет определяться как (формула 4.123) Таким образом, если известна передаточная функция линейной системы G ( u ), то можно найти изображение выходного сигнала, зная изображение входного сигнала в установившемся режиме. Ранее было показано, что стационарный случайный процесс представляет собой спектральное разложение, то есть сумму гармонических колебаний со случайной амплитудой и неслучайной частотой. Поэтому рассмотрим реакцию системы Lc на гармоническое колебание и найдем выходной сигнал y ( t ). Очевидно, что выходной сигнал в установившемся режиме тоже будет представлять гармоническое колебание той же частоты . Покажем, что это колебание будет определяться по формуле (формула 4.124)
где - передаточная функция, у которой аргумент равен . Для этого в уравнение (7.4.1) вместо Y ( t) подставим , а вместо Х( t )- соответственно и будем иметь в виду, что Таким образом, получим что
сокращая левую и правую части равенства на , получаем что учитывая введенные обозначения, получаем что (формула 4.125) Таким образом, была доказана справедливость равенства (7.4.14). Функция (где i- мнимая единица, а - круговая частота) называется частотной характеристикой стационарной линейной системы; она равна передаточной функции этой системы, в которой в качестве аргумента взято произведение . Частотная характеристика стационарной линейной системы определяет степень усиления (или ослабления) амплитуды гармонического колебания на выходе этой системы. Следовательно, равенство (4.121) можно записать в следующем виде:
(формула 4.126) Тогда, если на вход стационарной линейной системы подать элементарный стационарный случайный процесс в комплексной форме то получаем обозначим (формула 4.127) поэтому Следовательно, подавая на вход стационарной линейной системы стационарный случайный процесс в виде спектрального разложения, на выходе этой системы получим стационарный случайный процесс тоже в виде спектрального разложения (формула 4.128)
где -комплексная случайная величина ( ) В этом выражении величина ту определяется по формуле (формула 4.129) Найдем дисперсию комплексной случайной величины
(формула 4.130)
так как Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса на выходе стационарной линейной системы, имеющей частотную характеристику , будет иметь вид (формула 4.131)
Таким образом, при преобразовании стационарного случайного процесса стационарной линейной системой каждая из координат ее спектра умножается на квадрат модуля частотной характеристики для соответствующей частоты. Величина может быть как больше единицы, так и меньше. Таким образом, случайный процесс Y ( t ) на выходе линейной системы претерпевает определенные изменения: все те частоты колебаний , которые имелись во входном воздействии Х( t ) остаются в случайном процессе Y ( t ) , однако дисперсия амплитуд этих колебаний может либо возрастать, либо уменьшаться. Таким образом, некоторые колебания усиливаются, в то время как другие ослабляются (отфильтровываются). Так же, как это мы делали раньше, перейдем от дискретного спектра (при разложении корреляционной функции на конечном интервале Т) к спектральной плотности (когда интервал разложения корреляционной функции ). Очевидно, что в этом случае спектральная плотность будет равна спектральной плотности , умноженной на квадрат модуля частотной характеристики
(формула 4.132) Таким образом, получаем довольно простое правило:спектральная плотность стационарного случайного процесса Y(t) на выходе стационарной линейной системы равна произведению спектральной плотности стационарного случайного процесса X ( t ) , подаваемого на вход системы, на квадрат модуля частотной характеристики этой системы Следовательно, задачу, сформулированную в начале этого пункта, нужно ставить и решать следующим образом. Даны: 1. частотная характеристика (или передаточная функция ) стационарной линейной системы Lc, то есть задана система постоянных чисел определяющих вид дифференциального уравнения 2. характеристики стационарного случайного процесса Х( t ) : или подаваемого на вход системы Lс. Требуется найти характеристики случайного процесса Y ( t ) на выходе системы Lс Последовательно находим: 1) математическое ожидание: (формула 4.133)
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (391)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |