Метод простой итерации
Этот метод широко используется для численного решения уравнений и их систем различных видов. Рассмотрим применение метода простой итерации к решению систем линейных уравнений. Запишем исходную систему уравнений в векторно-матричном виде и выполним ряд тождественных преобразований:
Где - некоторое число, Е - единичная матрица, . Получившаяся система эквивалентна исходной системе и служит основой для построения метода простой итерации. Выберем некоторое начальное приближение и поставим в правую часть системы:
Поскольку не является решением системы, в левой части получится некоторый столбец , в общем случае отличный от . Полученный столбец будем рассматривать в качестве следующего (первого) приближения к решению. Аналогично, по известному k-му приближению можно найти (k+1) - е приближение:
Эта формула и выражает собой метод простой итерации. Для ее применения нужно задать неопределенный пока параметр . От значения зависит, будет ли сходится метод, а если будет, то какова будет скорость сходимости, т.е. как много итераций нужно совершить для достижения требуемой точности. В частности справедлива следующая теорема. Теорема. Метод простой итерации сходится тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы по модулю меньше единицы. Для некоторых типов матрицы А можно указать правило выбора , обеспечивающее сходимость метода и оптимальную скорость сходимости. В простейшем случае можно положить равным некоторому постоянному числу, например, 1, 0.1 и т.д.
Метод Зейделя
Этот метод можно проиллюстрировать на примере решения системы: a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31 x1+ a32 x2+ a33 x3= b3
Предположим, что диагональные элементы a11, a 22, a 33 отличны от нуля (в противном случае можно переставить уравнения). Выразим неизвестные х1, х2, х3 соответственно из первого, второго и третьего уравнений системы:
Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизвестных: х1=х1 (0), х2=х2 (0), х3=х3 (0). Подставляя эти значения в правую часть выражения (‘1), получаем новое (первое) приближение для х1:
Используя это значение для х1 и приближение х3 (0) для х3, находим из (‘2) первое приближение для х2:
.
И наконец, используя вычисленные значения х1=х1 (1), х2=х2 (1), находим с помощью выражения (‘3) первое приближение для х3:
На этом заканчивается первая итерация решения системы (‘1) (‘2) (‘3). Используя теперь значения х1 (1), х2 (1), х3 (1), можно таким же способом провести вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые приближения к решению х1=х1 (2), х2=х2 (2), х3=х3 (2) и т.д. Приближение с номером с k можно вычислить, зная приближение с номером k-1, как
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х1 ( k), х2 ( k), х3 ( k) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х1 ( k-1), х2 ( k-1), х3 ( k-1).
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (189)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |