К решению номера 3 контрольной работы номер 1 .
(1) Теорема Кронекера-Капелли. Система (1) совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение, тогда и только тогда, когда , где - расширенная матрица системы (1), причем 1) если , то система (1) несовместна; 2) если ( - число неизвестных), то система (1) неопределенная; 3) если , то система (1) имеет единственное решение. У Кронекера эта теорема содержится в его лекциях, читавшихся в Берлинском университете в 1883-1891 г. Капели впервые дал формулировку теоремы с использованием термина «ранг матрицы». Из сформулированной теоремы вытекает алгоритм решения системы (1): Пусть . В матрице выделяем базисный минор порядка . С этим минором связаны уравнений и неизвестных системы (1). Эти уравнения и неизвестные назовем базисными; все остальные уравнения системы отбросим, а все остальные неизвестных в базисных уравнениях перенесем направо. Получим систему из базисных уравнений с базисными неизвестными. Т.к. ее определитель, являясь базисным минором, отличен от нуля, то по правилу Крамера полученная система имеет единственное решение. Это решение, зависящее от произвольных постоянных, соответствующих небазисным неизвестным, и будет решением исходной системы (1). Метод Гаусса. Переходим к исследованию общих линейных систем. Рассмотрим систему из линейных уравнений и с неизвестными: (3) Наряду с матрицей составим так называемую расширенную матрицу системы (3) из коэффициентов при неизвестных и правых частей. Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы с помощью элементарных преобразований над ее строками к ступенчатому виду: или К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие: 1) перемена местами двух строк; 2) умножение строки на число, отличное от нуля; 3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число; 4) выбрасывание нулевой строки. Расширенной матрице, приведенной к ступенчатому виду, соответствует линейная система, эквивалентная исходной, решение которой не вызывает затруднения. Реализацию метода Гаусса рассмотрим на примерах. Переход от при помощи элементарных преобразований будем обозначать значком эквивалентности . Пример. Решить систему с помощью метода Гаусса. Решение.
Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-4), к третьей – первую, умноженную (-2).
Поменяем местами вторую и третью строки: К третьей строке прибавим вторую, умноженную на 7: Полученной ступенчатой матрице соответствует эквивалентная система:
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (191)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |