Свойства линейности изображения.
Интегральные преобразования Операционное исчисление и некоторые его приложения Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям : 1) 2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода). 3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me S0t
Рассмотрим функцию f(t)×e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b). (1) Применим к этому соотношению формулу Эйлера : Проинтегрировав это равенство получим : (2) Оценим левую часть равенства (2) : А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t В случае если a>S0 имеем : Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2). Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р : (3) Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом. f(t) Ü F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу. - это оператор Лапласа. Смысл введения интегральных преобразований. Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений. Теорема единственности: если две функции j( t) и Y(t) имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны. Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным. Изображение функций s 0 ( t ), sin ( t ), cos ( t ). Определение: называется единичной функцией. Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение : Изображение единичной функции Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) : интегрируя по частям получим : т.е. Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда : Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного. где а – константа. Таким образом : и
Свойства линейности изображения. Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные. Если , то , где Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(a+p) является изображением функции e-at f(t) (4) Доказательство : Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4) Что и требовалось доказать.
Таблица основных изображений:
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (208)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |