Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.
Преобразование Лапласа имеет вид : (1) На f ( t ) наложены условия : 1) f ( t ) определена и непрерывна на всем интервале: (-¥ ; ¥ ) 2) f ( t ) º 0 , t Î (- ¥ ;0) 3) При M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me S0t
Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f ( t ) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл : (2) Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа. Пусть в (1) и (2) p = a + in, где a и n – действительные числа. Предположим, что Re( p ) = a = 0, т.е. (4) (5) (4) и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.
Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :
1) Должна быть определена на промежутке (-¥ ; ¥ ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. 2) Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная. 3) Функция абсолютно интегрируема : , это условие выполняется, если |f(t)|<Me S0t
Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f ( t ) = C Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций : т.к.
Если f ( t ) = 0 при t >0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F ( p ) не обращается в число справа от мнимой оси. Если f(t) ¹ 0, t<0 (6)
Обозначим Очевидно, что (6’) Функция (6) называется спектральной плотностью В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности : 1) Вычисление интеграла (5) 2) Использование преобразования Лапласа или Фурье.
Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции. Функция F ( iu ) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной (7) |F ( iu )| - амплитудное значение спектральной плотности, y (u) – фазовый угол. В алгебраической форме : F ( iu ) = a ( u ) + ib ( u ) (8) (9) Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F ( iu )| и фазовый угол y (u).
Пример. Найти спектральную плотность импульса : откуда , далее
Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций. Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа. Прямое преобразование Фурье необходимо : 1) Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений. 2) Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси. Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций: Если для заданной функции y = f ( t) существует непрерывное изображение по Лапласу F ( p ), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu . Спектральной плотностью F 1 ( iu ) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F 2 ( iu a ) абсолютно интегрируемой функции.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (215)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |