Краевая задача и ее оператор
Уравнения в частных производных математической физики распадаются на два большие класса. Уравнения первого класса описывают процессы, в которых искомые величины заметно меняются с течением времени, то есть являются функциями пространственных координат и времени. Наиболее простой и важный представитель этого класса – волновое уравнение, частным случаем которого является уравнение колебания струны. Другой важный пример – уравнение теплопроводности. Уравнения второго класса описывают явления стационарные. Чаще всего эти уравнения принадлежат к эллиптическому типу. Одна из простейших стационарных задач – задача о распределении температуры в ограниченном теле с границей в случае отсутствия в теле источников тепла. Температура тела удовлетворяет уравнению Лапласа с тремя независимыми переменными (1) Принимаем, что на границе тела температура - известная функция координат (краевые условия 1 рода): (2) Задачу о распределении температур можно сформулировать так: Найти функцию , которая удовлетворяет уравнению Лапласа (1) внутри области и принимает заданные значения (2) на ее границе (Задача Дирихле для уравнения Лапласа). Условия на границе могут быть и другого типа. Если поток тепла через границу пропорционален разности температур внешней среды и границы тела ( – внешняя нормаль к поверхности тела ), то получаем условия 3-ого рода: или (3) Если в условии (3) положить , то получаем краевое условие 2-ого рода (4) Задача интегрирования уравнения (1) с условием (4) называется задачей Неймана. С краевой задачей математической физики можно связать некоторый оператор – «оператор данной краевой задачи», действующий в подходящем гильбертовом пространстве. При этом данная задача может быть записана в виде уравнения (5) где – оператор краевой задачи, и – элементы гильбертова пространства. Пример такой операторной задачи – однородная задача Дирихле для уравнения Пуассона (неоднородного уравнения Лапласа): (6) Решение задачи (6) ищем во множестве (линеале) функций, обладающих следующими свойствами: , . На множестве М оператор действует по формуле: (7) Формула интегрирования по частям и формулы Грина При рассмотрении вариационных методов широко используются следующие соотношения. Для функций в – мерной области с кусочно-гладкой границей ( - вектор внешней нормали к поверхности ) справедлива формула интегрирования по частям: (8) Рассмотрим далее дифференциальный оператор: (9) Первая формула Грина (10) Вторая формула Грина (11) Третья формула Грина (12)
Соответствующие формулы Грина для оператора Лапласа (10`) (11`) (12`)
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (213)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |