Положительные и положительно определенные операторы
Симметричный оператор называется положительным, если для (1) причем выполняется тогда и только тогда, когда . Пример 1: , , . Докажем, что оператор положителен. а) симметричность
б)
Если , (в соответствии с условиями на границе). Пример 2: , , . а) симметричность б) , . Докажем, что оператор С – положительно определенный . , . Докажем, что оператор не является положительно определенным . Если , то (не выполняется определение, хотя граничные условия выполняются). Пример 3: , ,
Рассмотрим задачу определения прогиба мембраны, закрепленной по краям: , – пропорционально потенциальной энергии мембраны. Потенциальная энергия мембраны, изогнутой как угодно, положительна, иначе говоря, невозможно изогнуть мембрану, не затратив на это энергии. Пусть некоторая физическая система под действием внешней причины , приобретает смещение и пусть , где – положительный оператор. Тогда величина пропорциональна величине энергии, которую необходимо затратить, чтобы сообщить системе смещение . – энергия функции (для положительного оператора ). Симметричный оператор называется положительно определенным, если для справедливо неравенство (11) где – положительная постоянная. Если оператор положительно определенный, то он положительный, обратное не всегда верно.
Пример 4: , . – положительный оператор. Докажем его положительную определенность. (с учетом ) Неравенство Буняковского: . Примем , : . Энергетическое пространство положительно определенного оператора Оператор - положительно определенный оператор, – линеал (область определения линейного оператора). Введем – энергетическое пространство оператора (полное гильбертово пространство, совпадающее с ) с обозначениями: . (1) - энергетическое произведение , (4) - энергетическая норма . . (5)
Теорема 1. Все элементы пространства принадлежат также к пространству . (Точнее: каждому элементу из можно привести в соответствие один и только один элемент из , причем разным элементам из соответствуют разные элементы из .) Сходимость в энергетическом пространстве – сходимость по энергии ( ). Теорема 2. Если – положительно определенный оператор и по энергии, то одновременно в метрике исходного пространства :
Энергетическое пространство только положительного оператора Оператор положительный, но не положительно определенный, называется только положительным. Не все элементы энергетического пространства только положительного оператора принадлежат исходному пространству. Элемент принадлежит исходному пространству тогда и только тогда, когда , что и 0. При этом последовательность стремится к тому же элементу в пространстве : . Теорема. Для того, чтобы энергетическое пространство положительного оператора было сепарабельным, необходимо и достаточно, чтобы было сепарабельным исходное гильбертово пространство. (Сепарабельное пространство - плотное, счетное, – сепарабельное пространство). Итак: Положительный оператор : Положительно определенный оператор : , что Главные и естественные краевые условия , , , (1) , (2) – оператор задачи (1), (2) в пространстве – множество функций из и удовлетворяет (2) ( –порядок уравнения (1)). Пусть – положительный оператор, – энергетическое пространство. Краевые условия, которым обязательно удовлетворяют функции из области определения оператора и необязательно – функции из энергетического пространства , называются естественными для дифференциального оператора . Краевые условия, которым обязательно удовлетворяют функции из энергетического пространства – главные условия. 1) , , , – главные (геометрические, кинематические) 2) , , , – естественные (динамические) Пример 5 (3) , (4) Докажем, что для уравнения (3) краевое условие (4) – естественное. – симметрично относительно , . – имеет смысл для любых , необязательно удовлетворяющих (3). Построим функционал . Покажем, что точное решение задачи (3), (4) – реализует . Используем принцип виртуальных перемещений с параметром . – имеет при и фиксированном . . При (5) По формуле Грина , для , , Метод Ритца. Пусть – положительно определенный оператор на линеале в сепарабельном пространстве , и . Пусть – гильбертово пространство. Рассмотрим в базис . (1) Обобщенное решение уравнения – это элемент , который минимизирует в функционал , (2) т.е. элемент , для которого . (3) Выберем целое положительное число , и будем искать аппроксимацию элемента в виде , (4) где элементы базиса (1) , а – неизвестные пока вещественные постоянные. Эти постоянные определяются из условия Fun = min, (5) которое означает, что среди всех аппроксимаций вида , (6) где bk – произвольные вещественные постоянные (т.е. в n-мерном подпространстве, порождаемом элементами j1, …, jk,), функционал F принимает минимальное значение в точности на аппроксимации (4). По предположению, (1) образует базис в HA , так что обобщенное решение u0можно с произвольной точностью аппроксимировать соответствующей линейной комбинацией его элементов. Кроме того, условие (5) аналогично (3). Поэтому приближение (4) с постоянными, определенными в соответствии с (5), будет достаточно мало отличаться от искомого решения u0 в HA, если n будет достаточно велико. Постоянные bk в (4) определяются подстановкой (6) вместо u в (2): F vn = (b1 j1 +…+ bn j n, b1j1 +…+ bn j n)A – 2(f, b1j1 +…+ bn j n)= =(j1, j1)A b12 + (j1, j2)A b1 b2 +…+ (j1, j n)A b1 bn + +(j2, j1)A b2 b1 + (j2, j2)A b22 +…+ (j2, j n)A b2 bn +… +(j n, j1)A bn b1 + (j n, j2)A bn b2 +…+ (j n, j n)A bn2– –2(f, j1) b1 – 2(f, j2) b2 –…– 2(f, j n) bn , (7) а с учетом симметрии скалярного произведения: F vn =(j1, j1)A b12 + 2(j1, j2)A b1 b2 +…+ 2(j1, j n)A b1 bn + + (j2, j2)A b22 +…+ 2(j2, j n)A b2 bn +…+ (j n, j n)A bn2– – 2(f, j1)b1 – 2(f, j2)b2 –…– 2(f, j n)bn . (8) Скалярные произведения (j i,, jk)A – это фиксированные числа, определяемые элементами заданного базиса. Следовательно, в результате подстановки функционал F становится квадратичной функцией переменных b1,…,bn. Необходимые условия существования минимума этой функции в точке (a1,…,an) есть: (9) т.е. должны выполняться равенства (10) После простых преобразований эти уравнения можно записать в виде (11) Система (11) – это система n уравнений для n искомых постоянных a1,…,an. Так как по предположению j1,…,jn линейно независимы и определитель системы (11), являющийся определителем Грама, отличен от нуля, то существует единственное решение системы(11). Замечание. Базис в HA можно выбрать из элементов линеала DA, так как это множество плотно в HA. Тогда мы имеем (j i, jk)A = (A j i, jk) для всех i, k=1,…,n,и систему (11) можно записать в виде (12)
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1080)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |