Классификация точек регулярной поверхности
Пусть Выберем на поверхности Отклонение произвольной точки
В этой формуле Рассмотрим формулу (1). Разность
Где
Умножим обе части равенства (2) скалярно на вектор
Получим, что
Разумеется, вдумчивый (или хотя бы немного читающий эти выкладки) читатель поймет, что коэффициенты
указанные в формуле (3) вычислены в точке Из курса линейной алгебры известно, что свойства квадратичной формы во многом определяются ее дискриминантом. А скорее даже знаком квадратичной формы. Вычислим дискриминант второй квадратичной формы в точке
Рассмотрим все возможные случаи.([7],[8],[9],[10],[11]) Случай 1.
Т.е. вторая квадратичная форма поверхности в заданной точке является знакоопределенной. Зафиксируем в точке Тогда любое другое направление на поверхности в точке Положим
Тогда
Нетрудно показать, что
где постоянная
а в силу условия
Таким образом неравенство
выполняется независимо от выбора угла Так как порядок стремления к нулю при Отклонение Это означает, что все точки поверхности Например, все точки сфер – эллиптические.([6],[8])
Случай 2.
Вторая квадратичная форма является знакопеременной. Покажем, что в этом случае, в точке - для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма поверхности, вычисленная в точке - все остальные направления на поверхности в точке Пусть некоторое направление
где Как видно из формулы (3), знак отклонения Рассуждая аналогично, можно указать точки на поверхности, близкие к точке Приведенные рассуждения показывают, что вблизи точки В этом случае точка называется гиперболической точкой поверхности.
Случай 3.
Но отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов, Пусть для определенности
Тем самым в зависимости от знака Для всех других направлений на поверхности в точке
В этом случае точка Случай 4. ([1],[11],[12])
Такая точка Например, все точки плоскости являются точками уплощения.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (401)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |