Первая и вторая квадратичные формы поверхности Каталана
Итак, из формулы (5), (6), (7):
Для поверхности Каталана мы имеем дополнительное условие Определитель
индекс Расчет
Расчет M .
Расчет N .
В нашем случае:
Можно считать, что
Тогда:
Аналогичная величина для произвольной линейчатой поверхности имеет вид:
Как мы видим, – последнее слагаемое обращается в нуль Очевидно, что для поверхности Каталана:
Подставим это выражение для Итак, пересчитаем коэффициенты второй квадратичной формы для поверхности Каталана.
Теперь средняя кривизна.
Попробуем найти все минимальные поверхности Каталана.
Рассмотрим два случая. 1. Поверхность Каталана является развертывающейся поверхностью (т.е. цилиндром). Тогда, очевидно: Уравнение примет вид:
Пусть
Предположим, что функция
Сделаем замену искомой функции:
Предположим, что
Далее:
Таким образом, все цилиндры вида:
являются минимальными поверхностями. Заметим, что
Также может выполняться, если
причем
Сделаем замену искомой функции: Получим:
Откуда
В результате получаем более приемлемое выражение, описывающее все минимальные цилиндры (с точностью до ориентации в пространстве). Пусть для удобства записи функция
Итак, цилиндры, вида:
являются минимальными поверхностями. Однако, как легко видеть – это только плоскости… Теорема 3.1. О минимальных цилиндрах. Среди цилиндров только плоскости являются минимальными поверхностями. Доказательство Пусть дан цилиндр.
Тогда
Поэтому уравнение для определения главных кривизн
примет вид.
Вспомним формулу для средней кривизны, а именно:
В нашем случае, это возможно только если Вернемся к рассмотрению уравнения (14)
Рассмотрим случай, когда Улучшений здесь не видно, особенно. Рассмотрим один специальный случай:
Т.е.
Получим:
Теорема 3.3. О минимальных поверхностях Каталана. Если имеет место разложение:
Рассмотрим пример минимальной поверхности Каталана.
Это прямой архимедов геликоид. Т.е.
Имеет место разложение:
Действительно, прямой архимедов геликоид – минимальная поверхность Каталана. Еще раз напомним, как он выглядит.
О коноидах
Выведем условие, при котором поверхность Каталана будет являться коноидом. Т.е. задана поверхность Каталана
Определим, когда есть прямая, пересекающая все образующие данной поверхности. Пусть есть кривая на этой поверхности:
Причем она не совпадает ни с одной из образующих, т.е. Уравнение этой кривой в пространстве имеет вид:
Если в каждой точке кривизна равно нулю – то это связное множество точек, которое лежит на прямой.
Рассмотрим векторное произведение:
Как мы видим, это не очень удобная запись. Попробуем использовать соотношение:
Сгруппируем члены при векторах.
Умножим это равенство векторно на
А теперь умножим скалярно на
Так как мы рассматриваем поверхности Каталана, то
Дифференциальное уравнение (19) дает необходимое условие того, чтобы поверхность Каталана являлась коноидом. Рассмотрим специальный простой случай, а именно, когда поверхность Каталана является цилиндром ( И действительно: Если имеется равенство:
Однако из этой записи вышеуказанное равенство не следует. Ибо если Очевидно, мы пока не получили достаточно удовлетворительного уравнения для характеризации коноидов среди линейчатых поверхностей. Воспользуемся тем фактом, что для прямой верно, что
Итак
Рассмотрим снова два случая. 1.
Т.е. если уравнение (21) в указанных в начале продолжениях имеет решение, то оно определяет параметрическое уравнение прямой, через которую проходят все образующие цилиндра. Умножим уравнение справа на
Откуда очевидно, что:
Рассмотрим уравнение (22) для какой-нибудь одной координаты. Пусть
Другими словами:
Возвращаясь к уравнению Т.е. всякий цилиндр является коноидом, если существует такая функция
при этом, общая прямая, через которую проходят все образующие цилиндра имеет вид:
Естественно – это целое семейство прямых. Попробуем сразу воспользоваться найденным приемом для уравнения (21).
Это можно переписать так:
Откуда также можно сделать вывод, что Если проанализировать это равенство для одной из координат:
Тогда, если существует обратная функция
Проверим наши выкладки на примере. Рассмотрим два цилиндра:
1)
Проверим, является ли этот цилиндр коноидом:
Допустим, что локально можно положить:
С другой стороны,
Естественно, выполнение этих двух условий в системе возможно только в каких-то определенных точках, что нас не устраивает. Очевидно, это не коноид. Результат тем более очевиден, что если
2)
Очевидно:
остальные равенства выполняются при равенстве нулю коэффициентов линейной функции. Очевидно, что коэффициенты в данном случае влияют лишь на динамику обхода линий Данная поверхность Каталана является коноидом. Итак, данный цилиндр, является коноидом, тогда и только тогда, когда существует такая замена переменного
При этом найдется целое семейство прямых, каждый член которого не совпадет ни с одной образующей и который все образующие пересекают. Из (24) легко понять, что если такая замена существует, то поверхность является просто плоскостью. Другими словами, справедлива теорема. Теорема 3.2.О кониодных цилиндрах. Среди всех цилиндров только плоскость является коноидом. Вернемся к рассмотрению общего случая соотношения (20). Напомним.
Перепишем это уравнение в следующем виде:
Константу можно «убрать» в функцию
Рассмотрения возможных случаев, когда данное уравнение имеет невырожденное решение мы оставим за границами нашего рассмотрения.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (287)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |