Понятие производной и дифференциала
Определение.Производной функции
Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке. Разберем смысл этого понятия. Учитывая смысл понятия предела, можно записать
Отсюда следует, что Механический смысл производной - это мгновенная скорость точки. Геометрический смысл производной - это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой Если точка касания имеет координаты
В общем случае, производная - это скорость изменения функции. Нахождение производной называется дифференцированием функции. Производная функции находится с помощью таблицы основных производных (таблица 3.1) и основных правил дифференцирования. Таблица 3.1 – Таблица производных основных элементарных функций
Определение. Дифференциал функции – это главная линейная часть приращения функции
Приближенно дифференциал функции равен приращению функции
Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается Аналогично определяется и обозначается производная третьего порядка - В общем случае определяется производная n-го порядка -
Правила дифференцирования Пусть функции
1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
2. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций:
3. Производная произведения двух функций находится по формуле:
4. Производная частного вычисляется по формуле:
5. Производная сложной функции 6. Производная обратной функции
7. Производная функции находится по формуле
Пример 3.1. Найти производные функций: а) Решение. Используя данные таблицы производных, получим: а) б) Пример 3.2. Найти производные функций: а) Решение. Используя данные таблицы производных и правила производной частного и произведения, получим: б) Пример 3.3.Найти производную сложной функции Решение. Обозначим Воспользуемся правилом производной сложной функции и таблицей производных, получим Пример 3.4. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную Решение.Обратная функция
Пример 3.5. Найти производную функции Решение.Продифференцируем уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х.
Выразим из полученного уравнения
Пример 3.6.Найти производную функции заданной системой
Решение.По правилу производной функции заданной параметрическими уравнениями находим
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1895)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |