Экстремум функции двух переменных. Необходимый признак.Если функция двух переменных z=f(x,y) имеет экстремум в точке
Необходимый признак.Если функция двух переменных z=f(x,y) имеет экстремум в точке, то каждая ее частная производная первого порядка в этой точке равна нулю или не существует. Достаточный признак.Чтобы установить имеет ли функция z=f(x,y) экстремум в критической точке, нужно найти вторые производные этой функции по x, по y и смешанную производную Затем проверить знак выражения Если A>0 и , то функция в точке имеет минимум. Если A>0 и , то функция в точке имеет максимум. Если A<0, то экстремума нет. Пример 6.2. Исследовать функцию z = y4 - 2xy2 + x2 + 2y + y2 на экстремум. Решение. Находим частные производные: = - 2y2 + 2x; = 4y3 - 4xy +2 +2y. Для отыскания критических точек решим систему уравнений:
.
Итак, Mo(1,-1) -единственная точка, «подозрительная на экстремум». Находим вторые частные производные в найденной точке: . Проверим знак выражения . Так как A>0 и , то функция в точке Mo(1,-1) имеет минимум. Вычислим z min = (-1)4 - 2×1×(-1)2 +1 - 2 +1 = -1. Условный экстремум функции двух переменных Пусть необходимо найти экстремум функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=0. Функция z=f(x,y) называется целевой функцией. Первый метод решения – метод подстановки, применяется, когда из уравнения g(x,y)=0 можно выразить переменную y=φ(x) и подставить ее в целевую функцию. Таким образом, решение сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Второй метод – метод множителей Лагранжа, используется, когда нельзя явно выразить y из условия g(x,y)=0. В этом случае, для решения вводится новая функция Лагранжа. , где λ – неопределенный множитель, новая переменная. Затем находится экстремум этой функции от трех переменных.
Решая эту систему, получают значения критической точки условного экстремума функции z=f(x,y). После этого определяется максимум или минимум функции z=f(x,y) в этой точке по смыслу задачи. Пример 6.3. Найти экстремумы функции при условии . Решение. Выразим переменную у из условия и подставим в функцию: ; . Получим функцию одной переменной. Найдем ее экстремум. ; , . Так как вторая производная , то найденная точка - точка минимума. Следовательно, функция имеет условный минимум в точке , который равен . Пример 6.4. На 2 товара - Кириешки ( ) и чипсы ( ) Сергей тратит в месяц 120 руб. Определить оптимальный выбор, если его функция полезности . Решение. Необходимо найти максимум функции при условии . Воспользуемся функцией Лагранжа.
.
Найдем частные производные от функции Лагранжа:
Решаем полученную систему.
.
Таким образом, оптимальный выбор составит 4 ед. Кириешки и 8 ед. чипсов, при этом оптимальное значение функции полезности составит 49152. Варианты контрольной работы
Вариант 0
1. Вычислить предел функции
2. Вычислить производную функции
3. Исследовать функцию и построить график . 4. На 2 товара - кириешки ( руб.) и чипсы ( руб.) Сергей тратит в месяц 120 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности .
Вариант 1
1. Вычислить предел функции
2. Вычислить производную функции
3. Исследовать функцию и построить график . 4. На 2 товара - колбасу ( руб.) и сыр ( руб.) Сергей тратит в месяц 300 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности .
Вариант 2
1. Вычислить предел функции
2. Вычислить производную функции
3. Исследовать функцию и построить график . 4. Средняя семья тратит 30 долл. в месяц на рыбу и хлеб. Цена рыбы - 5 долл., цена батона хлеба - 1 долл. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности имеет вид: .
Вариант 3
1. Вычислить предел функции
2. Вычислить производную функции
3. Исследовать функцию и построить график . 4. На 2 товара - компакт-диски ( руб.) и аудиокассеты ( руб.) Влад тратит в год 1000 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности . Вариант 4
1. Вычислить предел функции
2. Вычислить производную функции
3. Исследовать функцию и построить график . 4. За месяц студент расходует на апельсины и бананы 100 рублей. Цена одного апельсина 5 р, а цена одного банана 2 р. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности u=10ху.
Вариант 5
1. Вычислить предел функции
2. Вычислить производную функции
3. Исследовать функцию и построить график . 4. На 2 товара – видеокассеты и аудиокассеты Олег тратит еженедельно 50 руб. Цена видеокассеты 15 руб., цена аудиокассеты 5 руб. Определить набор кассет, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности u = 2xy. Вариант 6
1. Вычислить предел функции
2. Вычислить производную функции
3. Исследовать функцию и построить график . 4. На два товара – молоко и хлеб Иван тратит 200 ден. ед. в месяц. Цена молока – 20 ден. ед., хлеба – 15. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности .
Вариант 7
1. Вычислить предел функции
2. Вычислить производную функции
3. Исследовать функцию и построить график . 4. Ольга тратит еженедельно 200 руб. на бананы и пепси-колу. Цена 1 кг бананов –30 руб., 1 л пепси – 20 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности .
Вариант 8
1. Вычислить предел функции
2. Вычислить производную функции
3. Исследовать функцию и построить график . 4. На 2 товара - мясо ( руб.) и сыр ( руб.) Оля тратит в месяц 3000 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности .
Вариант 9
1. Вычислить предел функции
2. Вычислить производную функции
3. Исследовать функцию и построить график . 4. На 2 товара - яблоки ( руб.) и сливы ( руб.) Оксана тратит в месяц 500 руб. Определить набор продуктов, обеспечивающий максимальную полезность, если функция полезности .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1513)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |