Свойства операций над множествами
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Определение 13.Символы Методом таблиц Буля легко показать, что имеет место принцип двойственности: при замене в любом свойстве входящих в него символов на двойственные, оно остается верным. Пример. Докажем, например, закон Моргана.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ
"Всё наше достоинство заключено в мысли". Б. Паскаль. "Но если не грешить против разума, нельзя вообще ни к чему прийти". А. Эйнштейн. Н. Бурбаки начинает свою книгу «Начала математики» так: «Со времён греков говорить «математика» значит говорить «доказательство»». В этом пункте мы обсудим, на чём основано понятие доказательства. Высказывания Определение 1. Высказыванием называется любое верифицируемое повествовательное предложение, т.е. предложение, относительно которого можно утверждать истинно оно или ложно. Пример « Определение 2.Предложение, содержащее переменную и обращающееся в высказывание при подстановке конкретных значений называют высказывательной формой. Пример. Определение 3.Множество всех возможных истинных интерпретаций высказывания называется смысловым полем (интерпретация – это форма представления информации). Смысловое поле задано на своём универсуме –множестве всех возможных интерпретаций. Это позволяет высказывания, как и множества, изображать кругами Эйлера. В этом случае характеристическая функция для высказываний имеет вид:
A –высказывание, а – его интерпретация.
Определение 4. Сложным называется высказывание, составленное из простых с помощью логических операций:ù – неверно, что; Опишем эти операции, используя понятие смыслового поля:
Это описание позволяет составить таблицы истинности для этих операций.
Теперь можно точно дать определения. Определение 5 Дизъюнкцией двух высказываний Определение 6. Конъюнкцией двух высказываний … (самостоятельно) Определение 7. Эквиваленцией … (самостоятельно). Определение 8. Импликацией двух высказываний Импликация Теорема 1.Теорема Теорема 2.Теорема Теорема 3.Теорема Доказательство:
■ Теоремы 1 и 2 называют законом контрапозиции, а теорему 3 – дизъюнктивной формой импликации.
Законы логики Логикой называется наука о способах представления результатов мышления, способах доказательных рассуждений. Любое рассуждение состоит из высказываний. Истинность сложного высказывания, вообще говоря, зависит от истинности элементарных высказываний. Но существует такие сложные высказывания, которые истинны всегда, вне зависимости от истинности элементарных высказываний. Они называются законами логики. Рассмотрим некоторые из них. I группа –законы, которые нельзя доказать, пользуясь таблицами истинности. Закон тождества Пример.2 и 3 числа. Числа бывают чётные и нечётные. 2 – чётное, 3 –нечётное. Но 2 и 3 есть 5. Следовательно 5 и чётно и нечётно одновременно. (изменился смысл «и») Закон достаточного основания. Любое высказывание должно быть достаточно обосновано. Этот закон запрещает ссылки при доказательстве на личное мнение, авторитеты, божественное откровение и пр. Закон построения отрицания. ù II группа –законы, которые доказываются, используя таблицы истинности. Их формулировка всегда начинается со значка
Перечислим некоторые из них: 1. Закон исключённого третьего: 2. Закон исключения противоречий: 3.Закон двойного отрицания: 4. Закон Моргана: 5. Дизъюнктивная форма импликации: 6. Закон отрицания импликации: 7. Закон транзитивности: 8. Закон контрапозиции: 9. Закон отрицания эквивалентности: 10. Закон образования лжи: СООТВЕТСТВИЯ Описания того, что существует хоть в каком – либо смысле, хоть в каком – либо смысле должны соответствовать друг другу. Алекс Алдер. Соотношения между множествами называются соответствиями. Дляопределения соответствия надо определить два множества: множество (область) определения и множество (область) значений и указать “пары соответствий”. Соотношения между элементами одного множества называются отношениямимежду его элементами. Определение 1.Два элемента одного или разных множеств, расположенные в определенном порядке, называется упорядоченной парой Определение 2.Две упорядоченные пары Замечание.Естественно, Замечание.Упорядоченная n-ка (читается энка): Определение 3.Декартовым (прямым) произведением множеств Определение 4.Любое подмножество декартова произведения Пример. Область определения – студенческая группа, сдающая экзамен; множество значений – отл, хор, уд, неуд – множество оценок. Если явились все, то такое соответствие между студентами и их оценками называется всюду определённым,если кто-то не пришёл, то такое соответствие не всюду определённое. Определение 5.Соответствие функционально (или является функцией), если каждому элементу области определения соответствует не более одного элемента множества значений. Пример. Соответствие предыдущего примера функционально, потому что каждому студенту соответствует не более одной оценки. Видно, что функцияможетбытьне всюду определена. Если бы за один экзамен студенты могли получать несколько оценок, то соответствие было быне функционально. Определение 6.Всюду определённая функция называется отображением, то есть отображение Комментарий.При этом двум элементам множества Определение 7. Отображение Пример. Если сопоставить множество студентов в группе с множеством фамилий в списке группы, с учётом возможных однофамильцев, то это отображение и будет сюръекцией, так как каждому студенту соответствует фамилия, но одна и та же фамилия может соответствовать разным студентам. Определение 7. Отображение или функциональное соответствие называется инъективным, если каждому образу соответствует единственный прообраз, то есть если Пример. Если сопоставить множество студентов в группе с множеством фамилий в списке студентов университета и считать, что в группе нет однофамильцев, то такое отображение и называется “отображением В”, или вложением. То есть разным студентам соответствуют разные фамилии, а в области значений могут быть и “незадействованные фамилии”. Определение 9. Отображение называется биективным, если каждый элемент множества Комментарий.Соответствие, которое одновременно всюду определено, функционально, инъективно и сюръективно называется биективным. Определение 10. Биективное отображение множества в себя называется преобразованием. Определение 12. Отображение называется гомоморфизмом, если: каждому элементу и каждому отношению между элементами множества Определение 13. Гомеоморфизмом называют частный случай изоморфизма. Два множества гомеоморфны, если существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение одного из них на другое. ОТНОШЕНИЯ Не относитесь к себе слишком всерьёз. Пятое правило Черчилля. (первых четырёх не существует) Комментарий.Соотношения между элементами одного и того же множества называются отношениями. Отношения характеризуются иным перечнем свойств, нежели соответствия. Определение 1. На некотором множестве Комментарий.Можно сказать, что отношение Определение 2. Отношение рефлексивно, если Комментарий.То есть отношение применимо к самому объекту. Например, отношение включения. Поскольку любое множество включено само в себя, то отношение включения обладает свойством рефлексивности. Отношение «спасения» на множестве утопающих – рефлексивно.
Например, «перпендикулярность» на множестве прямых. Прямая не может быть перпендикулярна самой себе. Если Иванов «учится в одной группе» с Петровым, то справедливо и обратное. Например, отношение “больше или равно” полно на множестве действительных чисел и не полно на множестве комплексных. Комментарий.Если Иванов “учится в одной группе” с Петровым, а Петров с Сидоровым, то Иванов “учится в одной группе” с Сидоровым. Отношение включения тоже транзитивно. Если группа «включена» в множество студентов университета, а это множество «включено» в множество студентов страны, то множество студентов группы «включено» в множество студентов страны. Но если студенческую группу рассматривать как элемент университета, понимаемого как множества, состоящего из групп, а университет рассматривать как элемент высшей школы – множества, состоящего из университетов, то группа не является элементом высшей школы (там элементы университеты). То есть отношение “принадлежности” не транзитивно. Комментарий.Каждое конкретное отношение обладает совокупностью свойств. Рассмотрим важнейшие группы отношений, у которых совокупности свойств одинаковые.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (981)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |