Условия устойчивости линейных САР
Общее условие устойчивости линейных систем Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественная часть всех собственных значений матрицы A (корней характеристического уравнения) была отрицательной, т. е. (6.4)
Покажем справедливость этого утверждения, для чего запишем характеристическое уравнение системы
(6.5)
и найдем его корни . Используя модальное представление, определим полный процесс в системе, который представляет собой сумму экспонент (6.6) Как видим, качественный характер переходных процессов полностью определяется значениями корней В случае, когда все они вещественные и отрицательные, каждая компонента выражения (6.6) при выполнении условия (6.4) носит затухающий характер (рис.6.5). Следовательно, и их сумма также будет иметь затухающий характер, т. е. будет с течением времени стремиться к нулю. Если корни характеристического уравнения (6.5) комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью, то каждая пара их дает колебательную составляющую процесса, которая мажорируется затухающей экспонентой (рис. 6.6).
1– расходящийся; 2 – затухающий Рис. 6.5. Иллюстрация процесса в системе с Вещественным корнем
Следовательно, и в этом случае процесс, определяемый соотношением (6.6), будет иметь затухающий характер. Таким образом, мы показали достаточность условия устойчивости (6.4).
Рис.6.6. Колебательная составляющая процесса
Покажем теперь необходимость этого условия. Предположим, что хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть. Соответствующая ему составляющая решения будет с течением времени возрастать и в пределе стремиться к бесконечности (рис. 6.7). Следовательно, полный процесс, который определяется выражением (6.6), будет иметь расходящийся характер, а система никогда не сможет стать устойчивой.
Рис. 6.7. Процесс в системе с положительной вещественной частью пары
Изобразим корневой портрет системы (рис. 6.8) и получим графическую интерпретацию условия (6.4): для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости плоскости корней.
Рис. 6.9. процесс в системе с «мнимыми» корнями
Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости плоскости корней, то система будет неустойчива. Мнимая ось представляет собой границу устойчивостисистемы: при расположении комплексно-сопряженных корней на этой оси система находится на границе устойчивости (при условии, что все остальные корни имеют отрицательную вещественную часть). При этом процессы имеют вид незатухающих колебаний (рис. 6.9).
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (756)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |