Задания для самостоятельного решения. Производная функции
Производная функции Понятие производной. Правила дифференцирования. Таблица производных
Пусть определена в точке и в некоторой ее окрестности. Пусть точка рассматриваемой окрестности, то приращением аргумента в точке называется величина , приращением функции – величина . Если выразить , то . Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, при условии, что предел существует. Производную в точке обозначают . По определению , (1) или, что то же, , (2) при условии, что пределы (1),(2) существуют. Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Производная функции в точке – это число. Если функция дифференцируема на некотором множестве X из ее области определения, то также является функцией (ее обозначают также ).
Основные правила дифференцирования Пусть -дифференцируемые функции. Справедливы формулы: ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . (7)
Таблица производных основных элементарных функций 1) ,где , в частности а) , б) ; 2) где , в частности ; 3) где , в частности ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) . Пример 1: Найти производную функции в точке , пользуясь определением, если: 1) , ; 2) . Решение. 1.Используем определение производной в виде формулы (1): Поскольку по условию , то 2. По формуле (1) получаем Далее, применив тригонометрическую формулу , получим: Так как при имеем и, применив формулу первого замечательного предела, получаем: Поскольку по условию , то Пример 2:Вычислить производную функции , пользуясь определением производной. Решение.Пусть произвольная фиксированная точка из . Пользуясь формулой (1), имеем: Таким образом, операция дифференцирования ставит в соответствие функции , функцию . Пример 3.Найти производную функции: 1) ; 2) ; 3) . Решение. 1. Дифференцируем функцию и используем формулы (4), (5) и таблицу производных, получаем: 2. Дифференцируем функцию по формулам (3), (4), (6) и соответствующим формулам таблицы производных: 3. Дифференцируем функцию по формулам (7), (5), (3) и первой формуле таблицы производных: Пример 4. Вычислить производную функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных: 1) 2) ; 3) Решение.1. Преобразуем функцию, пользуясь свойствами логарифма: Полученное выражение дифференцируем по формулам (4), (5), (6) и формулам таблицы производных:
2. Перед дифференцированием преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма: Дальше воспользуемся формулами (3), (4), (5) и таблицей производных: 3. Так как непосредственное дифференцирование вызывает значительные трудности, предварительно упростим выражение по формулам тригонометрии: Полученное выражение дифференцируем по формуле (7) и соответствующим формулам таблицы производных. Задания для самостоятельного решения
I уровень 1.1.Пользуясь определением, найдите производную функции: 1) 2) 1.2.Найдите производную функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 1.3. Найдите , если 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 1.4.Вычислите: 1) , если: ; 2) если ; 3) если . 1.5. Вычислите , если 1.6.Вычислите , если . 1.7. Решите уравнение: 1) , где 2) , где .
II уровень 2.1. Найдите производные , предварительно преобразовав выражение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 2.2. Для функции найдите 2.3.Известно, что . Найдите . 2.4. Решите неравенство , где .
III уровень
3.1. Вычислите , если: 1) , 2) , . 3.2. Пользуясь определением производной, найдите , где 3.3. Найдите значение производной функции в точке , если . 3.4.Найдите сумму значений производной функции в точках x = 1 и x = 0.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (879)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |