СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Положение точки в пространстве в декартовой системе координат определяется тремя координатами: . Можно выбрать другие три параметра и назвать их криволинейными или обобщенными координатами точки. Декартовы координаты будут зависеть от криволинейных: , , . Движение точки в криволинейных координатах задается уравнениями , , . Радиус-вектор движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке выбранной системы отсчета для рассматриваемого движения, является функцией как декартовых, так и криволинейных координат, т.е. . Выберем точку , в которой криволинейные координаты равны нулю, и рассмотрим зависимость . Получим уравнение в векторной форме координатной линии для , проходящей через точку . Аналогично получаются уравнения координатных линий и , проходящих через точку для координат и . Через каждую точку пространства можно провести три координатные линии, пересекающиеся в этой точке. Вдоль каждой из координатных линий изменяется только одна криволинейная координата, а две другие сохраняют постоянные значения, соответствующие рассматриваемой точке. Рассмотрим частные производные . Они как производные от вектора по скалярному аргументу направлены по касательным к координатным линиям, являющимся годографами радиуса-вектора. Введем единичные векторы, направленные по векторам . Эти три единичных вектора называются базисными векторами. Базисные векторы, как и , направлены в каждой точке по касательным к координатным линиям в сторону возрастания криволинейных координат. Направления возрастания и начало отсчета криволинейных координат выбираются при задании движения. В общем случае базисные векторы могут быть неортогональными. Используя базисные векторы, получаем , или . (36) Скалярные величины называются коэффициентами Ламэ. Для вычисления , учтем, что радиус-вектор через декартовы координаты можно выразить в форме (37) где – единичные векторы, направленные по осям декартовой системы координат. Из (37) имеем: , и, следовательно: . (38) Скорость точки в криволинейных координатах При движении точки ее радиус-вектор через обобщенные координаты зависит от времени, т.е. . По определению скорости и правилу дифференцирования сложных функций имеем , (39) где называется обобщенной скоростью точки. Используя (36), из (39) получаем . (40) Получено разложение скорости по осям, направление которых совпадает с направлением базисных векторов. Для величин составляющих скорости по базисным векторам из (40) имеем . (40') В случае ортогональности базисных векторов по формуле (40') вычисляются проекции вектора скорости на оси, направленные по базисным векторам. В этом случае для квадрата скорости получаем .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1124)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |