Разложение определителей
Выберем в квадратной матрице
Определение. Детерминант квадратной матрицы порядка k, образованной элементами, стоящими на пересечении строк
Определение. Детерминант квадратной матрицы порядка
Выберем в матрице
Определение. Детерминант матрицы
Сгруппируем в определении детерминанта матрицы
все
Определение. Число
Замечание. По определению детерминанта имеют место равенства
которые можно использовать для вычисления определителей квадратных матриц, находя значения алгебраических дополнений при помощи соотношений, которые устанавливает следующая теорема
Теорема 12.4Справедливы равенства Доказательство.
1°. По определению детерминанта
то есть 2°. Построим новую матрицу,
Согласно линейному свойству определителя данное соотношение будет также выполняться и для каждого из его слагаемых, а значит, в силу формул (12.1) и для каждого алгебраического дополнения
3°. Наконец, очевидно, что значение дополнительного к
4°. Учитывая полученные соотношения
приходим к равенству
Теорема доказана.
Следствие. Разложение определителя по i-му столбцу имеет вид
или
Теорема 12.5Для любой квадратной матрицы
где
Доказательство.
По определению алгебраического дополнения имеем
то есть утверждение теоремы для случая Пусть теперь
можно рассматривать как разложение по s-му столбцу определителя матрицы, у которой s-й столбец совпадает с j-м столбцом. Но такой определитель равен нулю.
Теорема доказана.
Следствие. Если квадратная матрица
Правило Крамера
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:
Или
Или же в матричной форме
где квадратная матрица
Определение. Упорядоченный набор чисел
Теорема 12.5 (правило Крамера)Для того чтобы система линейных уравнений (12.2) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы
где i-й столбец
Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу Пусть при данном k все миноры k-го порядка равны нулю, тогда будут равны нулю и все миноры порядка выше, чем k, поскольку каждый минор
Определение. Наивысший из порядков, отличных от нуля миноров матрицы
Определение. Любой ненулевой минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором.
Определение. Столбцы (строки) матрицы, входящие в матрицу базисного минора, называются базисными.
Рассмотрим n m-компонентных столбцов вида:
и столбцы
Поскольку для столбцов (как частного случая матриц) определены операции сравнения, сложения и умножения на число, то будем говорить, что столбец
Теорема 12.6Всякий столбец (строка) матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов (строк) этой матрицы.
Доказательство.
1°. Пусть ранг матрицы равен Окаймим матрицу базисного минора фрагментами i-й строки и j-го столбца и рассмотрим определитель построенной матрицы
который равен нулю как минор порядка
2°. Разложив определитель D по последней строке, получим
где
Теорема доказана.
Определение. Столбцы
Лемма 12.1 Для того чтобы столбцы (строки) матрицы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.
Лемма 12.2 Если один из столбцов матрицы есть линейная комбинация некоторого подмножества остальных, то столбцы этой матрицы линейно зависимы.
Доказательство.
По лемме 6.5.1 можно утверждать, что среди столбцов матрицы есть подмножество линейно зависимых. Допустим, что линейно зависимыми являются первые
Тогда очевидно, что нетривиальная линейная комбинация всех столбцов этой матрицы вида
будет также равна нулевому столбцу.
Лемма доказана.
Теорема 12.7Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его столбцы (строки) были линейно зависимыми.
Доказательство необходимости.
Пусть определитель равен нулю, тогда ранг его матрицы меньше n. По теореме о базисном миноре всякий столбец есть линейная комбинация базисных столбцов и тогда по лемме 12.2 столбцы матрицы линейно зависимы.
Доказательство достаточности:
Пусть столбцы матрицы линейно зависимы. По лемме 12.1 один из столбцов есть линейная комбинация остальных. Пусть этот столбец последний, то есть
Теорема доказана.
Теорема 12.8 (о ранге матрицы)Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному числу линейно независимых строк матрицы и равно рангу матрицы.
Доказательство.
1°. Если ранг матрицы нулевой, то все ее элементы нулевые и среди них нет линейно независимых. Пусть ранг матрицы равен 2°. Выберем
Теорема доказана.
12.6 Системы m линейных уравнений с n неизвестными Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными вида:
Или
или же в матричной форме
где матрица
Определение. Упорядоченный набор чисел
Совокупность всех частных решений системы линейных уравнений(12.5) назовем общим решением системы (12.5).
Определение. Если система (12.5) имеет хотя бы одно частное решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместной системой уравнений.
Определение. Матрица
– расширенной матрицей этой системы.
Определение. Система (12.5) называется однородной, если
Теорема 12.9 (Кронекера-Капелли)Для того чтобы система (12.5) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной.
Доказательство необходимости.
Пусть существует решение системы (12.5)
где
Поскольку в этом случае столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов, образующих основную матрицу, то число линейно независимых столбцов основной и расширенной матриц будет одинаковым. Следовательно, по теореме о ранге матрицы
Доказательство достаточности.
Пусть ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен r. Без ограничения общности предположим, что базисный минор расположен в левом верхнем углу расширенной матрицы, но тогда по теореме о базисном миноре имеет место равенство
Однако последнее означает, что система (12.5) имеет решение
Теорема доказана.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (475)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |