Фундаментальная система решений
В предыдущем разделе было показано, что факт совместности или несовместности системы (6.6.1) можно установить, сравнив ранги ее основной и расширенной матриц. Рассмотрим теперь случай, когда система (12.5) совместна и найдем все ее решения.
При построении общего решения системы (12.5) воспользуемся следующими вспомогательными утверждениями.
Лемма 12.3 Любая линейная комбинация частных решений однородной системы (12.5) также является ее частным решением.
Лемма 12.4 Сумма некоторого частного решения однородной системы (12.5) и некоторого частного решения неоднородной системы является частным решением неоднородной системы (12.5).
Лемма 12.5 Разность двух некоторых частных решений неоднородной системы (12.5) является частным решением однородной системы (12.5).
Замечания 1°. Из лемм 12.3–12.5 следует, что общее решение неоднородной системы уравнений есть общее решение однородной плюс некоторое частное решение неоднородной,и поэтому прежде всего необходимо найти общее решение однородной системы линейных уравнений.
2°. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, поскольку у нее есть, по крайней мере, одно частное, называемое тривиальным, решение, для которого все неизвестные имеют нулевое значение.
3°. Поскольку частные решения системы линейных уравнений представимы в виде столбцов, то, используя операции сравнения, сложения и умножения на число для столбцов, а также лемму 12.3, можно ввести понятие линейной зависимости решений однородной системы линейных уравнений.
Теорема 12.10Однородная система (12.5) имеет
Определение. Фундаментальной системой решений для системы линейных уравнений (12.5) называется совокупность любых
Теорема 12.11Каждое частное решение однородной системы (12.5) может быть представлено в виде линейной комбинации частных решений, образующих фундаментальную систему решений.
Следствие 1. Общее решение неоднородной системы (12.5) может быть дано формулой где является некоторым частным решением неоднородной системы (12.5), а числа
Следствие 2. Для того чтобы однородная система (12.5) с В случае, когда основная матрица однородной системы (12.5) квадратная, условие существования нетривиального решения равносильно равенству
Теорема 12.12 (Фредгольма)Для того чтобы система (12.5) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение
или в матричном виде
удовлетворяло условию
или в матричном виде
Доказательство необходимости.
Пусть система уравнений (12.5) совместна, то есть для каждого ее решения
Имеем
Доказательство достаточности.
Пусть
совпадают, и для этих систем максимальное число линейно независимых решений одинаково. Поэтому, согласно теоремам 12.10 и 12.11,
но поскольку ранг матрицы не меняется при ее транспонировании, то имеет место равенство
Теорема доказана.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (611)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |