Поверхностный интеграл второго рода, его свойства
Пусть задана поверхность S, ограниченная линией L (рис. 3.10). Возьмём на поверхности S какой-нибудь контур l, не имеющий общих точек с границей L. В точке М контура l можно восстановить две нормали и к поверхности S. Выберем какое-либо одно из этих направлений. Обводим точку М по контуру l с выбранным направлением нормали. Если в исходное положение точка М вернётся с тем же направлением нормали (а не с противоположным), то поверхность S называют двусторонней. Мы будем рассматривать только двусторонние поверхности Пусть S - двусторонняя незамкнутая поверхность, ограниченная линией L, не имеющей точек самопересечения. Выберем определённую сторону поверхности. Будем называть положительным направлением обхода контура L такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остаётся слева. Двусторонняя поверхность с установленным на ней таким образом положительным направлением обхода контуров называется ориентированной поверхностью. Перейдём к построению поверхностного интеграла второго рода. Как при изучении криволинейных интегралов второго рода рассматривалась направленная кривая, так и при построении поверхностного интеграла второго рода рассматривается определенная сторона поверхности. Возьмём в пространстве двустороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан уравнением видаz = f(x,y) или является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. Пусть R(x,y,z) - функция, опредёленная и непрерывная на поверхности S. Сетью линий разбиваем S произвольным образом на n "элементарных" участков ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек. На каждом участке ΔSi произвольным образом выберем точку Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Пусть (ΔSi)xy - площадь проекции участка ΔSi на координатную плоскость Оху, взятая со знаком "+", если нормаль к поверхности S в точке Mi(xi,yi,zi) образует с осью Oz острый угол, и со знаком "-", если этот угол тупой. Составим сумму которую называют интегральной суммой для функции R(x,y,z) по поверхности S по переменным х, у. Обозначим λ - наибольший из диаметров ΔSi (i = 1, ..., n). Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек Mi ΔSi (i = 1, ..., n), то он называется поверхностным интегралом по выбранной стороне поверхности S от функции R(x,y,z) по координатам х, у (или поверхностным интегралом второго рода) и обозначается Аналогично можно построить поверхностные интегралы по координатам x, z илиу, z по соответствующей стороне поверхности, т. е. Если существуют интегралы (3.16) и (3.17), то можно ввести "общий" интеграл по выбранной стороне поверхности: Вычисление интеграла (3.16) как правило, сводят к вычислению двойного интеграла. Пусть S - двусторонняя поверхность, заданная уравнением z=f(x,y), где f(x,y) непрерывна в области τ (τ есть проекция поверхности S на координатную плоскость Оху), и R(x,y,z) - непрерывная функция на поверхности S. Выберем "верхнюю" сторону поверхности S, тогда знак проекции (ΔSi)xy всегда "+", поэтому есть интегральная сумма для функции R(x,y,f(x,y)) по плоской области τ. Переходя к пределу (приλ 0 ), получаем отсюда и очевидны условия существования поверхностного интеграла второго рода.
*************************************
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (573)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |