Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Пусть гладкая дуга АВ задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), z=z(t),где α ≤ t ≤ β. Кроме того, на этой дуге определены и непрерывны функции f(x,y,z), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), тогда криволинейные интегралы могут быть вычислены следующим образом: а) криволинейный интеграл 1-го рода: б) криволинейный интеграл 2-го рода:
*********************** Криволинейный интеграл второго рода, его свойства.
Пусть АВ - дуга гладкой кривой (рис. 3.2), на которой определена и непрерывна векторная функция
Пусть λn- наибольшая из длин частичных дуг. Понятно, что если λn → 0, то n → ∞. 2) выберем произвольным образом точки Ni(xi, yi, zi) 3) организуем векторы и 4) составим интегральную сумму вида
Конечный предел интегральной суммы βn при λn → 0, если он существует и не зависит от способа деления дуги АВ на частичные дуги и от способа выбора точек Ni
Из построения интеграла (3.3) очевидно, что при изменении направления обхода дуги АВ интеграл меняет знак, т. е.
Если дуга АВ гладкая, и функция Можно сформулировать более сильные условия существования криволинейного интеграла по координатам.
******************************** Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически. Пусть функция
Если обозначить за Формула Грина Формула Грина связывает двойной интеграл по плоской области с криволинейным интегралом по контуру этой области. Пусть функции P(x,y), Q(x,y), P'y(х,у), Q'x(х,у) непрерывны в замкнутой области D, ограниченной контуром L (рис. 3.6). Пусть контур L, кроме того, пересекается прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках. Пусть уравнение АСВ есть y = y1(x) при a ≤ x ≤ b, и уравнение АКВ есть y = y2(x)при a ≤ x ≤ b. Преобразуем двойной интеграл
В формулах (3.8), (3.9) и (3.10) направление обхода контура - положительное (против часовой стрелки), т. е. область D при движении по контуру L всё время остается слева. Для этого достаточно подобрать P(x,y) и Q(х,y) такими, чтобы в области D выполнялось условие тогда двойной интеграл в формуле (3.10) будет давать величину S площади области D. Например:
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (635)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |