Размерно-зависимые и размерно-независимые величины
Прежде, чем перейти к доказательству основной теоремы теории размерности, введем понятия о размерно-зависимых и размерно-независимых величинах. Говорят, что величина a размерно-зависима от величин , если размерность величины a выражается через размерности этих величин по формуле
, (6.6)
т.е. существуют такие действительные числа , ,… , что равенство (6.6) выполняется. Если же таких чисел не существует, то величина a размерно-независима от величин . Например, время t, длина l, масса m - размерно-независимые величины. Система величин: скорость, динамическая вязкость, время — также система размерно-независимых величин. Это ясно, например, из того, что в размерность вязкости входит масса, и поэтому она не может выражаться через скорость и время. Время и скорость также не могут выражаться по размерности одна через другую, поскольку в размерность скорости входит длина. Можно привести еще много примеров систем размерно-независимых величин. Приведем пример размерно-зависимых величин. Например, давление - это величина, размерно-зависимая от динамической вязкости, ускорения свободного падения и длины. Действительно, размерность давления можно выразить через размерности трех остальных величин – вязкости, ускорения и длины. Для этого запишем размерности всех величин через размерности основных единиц:
Будем искать такие числа , и , чтобы выполнялось равенство
.
Подставив в это равенство размерности выбранных единиц через размерности основных единиц, получим
.
Приравняв показатели степеней одинаковых размерностей в правой и левой частях последнего равенства, придем к системе трех линейных уравнений
для определения трех величин , и . Эта система имеет единственное решение: . Таким образом, находим
,
что и доказывает утверждение: давление размерно-зависимо от вязкости, ускорения и длины. Если имеется система размерных величин , то из нее всегда можно выделить подсистему, содержащую максимальное число размерно-независимых величин: , где ≤ . Делается это так. Берется величина a1. Если она — размерная величина, то к ней добавляется величина a2. Если a2 имеет размерность отличную от размерности a1 то система {a1,a2} состоит из размерно-независимых величин. После этого к системе величин {a1,a2} добавляется величина a3. Если размерность a3 выражается по формуле размерности через размерности величин a1 и a2, то берется величина a4. Если же размерность a3 не выражается через размерности величин a1 и a2, то система { } представляет собой систему размерно-независимых величин. Таким образом, перебирав все величины, входящие в систему , построим подсистему, содержащую максимальное число размерно-независимых величин. Заметим, что если размерности всех величин выражаются через размерности L, T и M, то в такой системе имеется не более трех размерно-независимых параметров.
6.5. Доказательство основной теоремы теории размерности ( теорема Букингема)
Перейдем теперь к доказательству основной теоремы теории размерности - теоремы о том, что всякое соотношение между размерными величинами, выражающее физическую закономерность, можно записать в безразмерном (инвариантном) виде. Пусть какая-либо физическая зависимость представляется функцией (6.5):
. (6.7)
Выделим среди размерных параметров максимальное число размерно-независимых величин. Пусть это будут величины , где ≤ . Тогда, размерности остальных параметров выражаются через размерности первых формулами
Размерность самой величины А также должна выражаться через размерности величин , поскольку если она не выражается через размерности этих величин, то она не выражается и через размерности всех величин . Выразим размерности величин и через размерности первых аргументов , образующих подсистему размерно-независимых аргументов максимального числа
……………………………
и перепишем зависимость (6.7) в следующем виде:
где функция, получающаяся из ƒ переопределением ее аргументов. Введем обозначения: (6.8)
тогда . (6.9)
Заметим, что отношения , являющиеся аргументами функции - это безразмерные величины, поскольку размерность числителя каждой дроби совпадает с размерностью ее знаменателя (поскольку так подбирались показатели степеней , ,…, ), следовательно, их численные значения не изменяются при переходе от одной системы единиц измерения к другой. Будем теперь произвольным образом изменять единицы измерения величин . Тогда численные значения этих величин будут также произвольно меняться. Однако параметры меняться не будут, поскольку они представляют собой безразмерные величины. Следовательно, величина не может зависеть от и соотношение (6.9) приобретает следующий окончательный вид:
. (6.10)
Таким образом, получен следующий важный результат, называемый теоремой: всякую зависимость между размерными величинами, отражающую физическую закономерность, можно записать как соотношение между безразмерными комплексами. При этом число аргументов в такой зависимости сокращается на число размерно-независимых величин, входящих в аргументы ее математической записи.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2480)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |