Тригонометрические подстановки
Литература: [3], гл. X, §§ 11, 14 [5], Ч.2, гл. 9, § 9.5
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащие иррациональные выражения. 1) , где R – рациональная функция своих аргументов. Пусть k – наименьший общий знаменатель дробей (другими словами k – наименьшее общее кратное натуральных чисел n, q, …, s). Сделаем подстановку: , . Тогда каждая дробная степень x выражается через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию относительно t (многочлен или рациональную дробь), методы интегрирования которой рассмотрены выше. Пример 1. 2) , где R – рациональная функция своих аргументов, . Пусть , где k – как и прежде, наименьший общий знаменатель дробей . Тогда . С помощью такой подстановки подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию относительно t. Пример 2.
3) , где R – рациональная функция своих аргументов, . Подынтегральную функцию можно рационализировать с помощью подстановки , откуда , . Рассмотрим теперь интегралы вида , , , где R – функция, рациональная относительно своих аргументов. Если интегралы не являются табличными, то избавиться в подынтегральной функции от квадратного корня можно с помощью, так называемых, тригонометрических подстановок. 4) . Пусть , тогда , . Пример 3.
Теперь в ответе надо перейти к х. Это удобнее всего сделать с помощью прямоугольного треугольника. Из подстановки находим . Вспоминаем, что в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета х к гипотенузе 2. По теореме Пифагора находим третью сторону треугольника, а затем по этому треугольнику можно находить любую тригонометрическую функцию угла t.
Итак, .
5) . Пусть , тогда , , . Пример 4.
6) . Пусть , тогда , . Пример 4.
.
.
Интегрирование в элементарных функциях
Литература: [3], гл. X, § 16
Как было сказано в п. 2.1, всякая функция f (x), непрерывная на [a, b], имеет на этом промежутке первообразную. Однако не всякая первообразная является элементарной функцией. Например, функция непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, её первообразная, а, значит, и , существует на любом промежутке. Но в элементарных функциях первообразная этой функции не выражается. О функциях, первообразные которых существуют, но не являются элементарными функциями, говорят, что они не интегрируемы в элементарных функциях. А интегралы от таких функций называются неберущимися в элементарных функциях. К таким интегралам относятся, например: , , , , и т.д.
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (456)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |