Замена переменной в определенном интеграле
Литература: [5], Ч.2, гл. 10, § 10.2
Рассмотрим Функция φ (t) должна быть непрерывно-дифференцируемой. Кроме того, φ(α)=a, φ(β)=b, тогда имеет место формула
Следует отметить, что при вычислении определенного интеграла уже нет необходимости возвращаться к старой переменной интегрирования, т.к. пределы интегрирования изменились в соответствии с подстановкой. Примеры. Вычислить интегралы 1) Решение. 1. Введем новую переменную интегрирования, полагая
2. Положим
Интегрирование по частям
Литература: [5], Ч.2, гл. 10, § 10.2
Если функции u(x) и v(x) непрерывно-дифференцируемы на [a, b], то имеет место формула интегрирования по частям:
Примеры. Вычислить интегралы: 1) 2) Решение. 1) 2)
Отметим очень важные для дальнейшего утверждения: 1) если функция f (x) четная, то 2) если функция f (x) нечетная, то 3) если f (x) периодическая с периодом T, то
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур
Литература: [5], Ч.2, гл. 10, § 10.3
Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если f (x) ≥ 0 для всех Если же f (x) ≤ 0 для всех
Рис. 3.2
Если фигура ограничена графиками функций y = f1(x) и y = f2(x) таких, что f1(x) ≥ f2(x) для всех Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x и y=2−x2. Решение. Найдем точки пересечения и построим заданные линии.
Тогда
Замечание. Часто бывает удобным использовать для вычисления площадей фигур формулы, в которых интегрирование ведется по переменной y, при этом x считается функцией от y, т.е.
Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y2=2x+1 и y=x−1.
Площадь фигуры равна: Если кривая, ограничивающая сверху криволинейную трапецию, задана в параметрическом виде
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой
![]() Решение.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (572)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |