будем решать методом разделения переменных: будем искать частные решения уравнения в виде произведения двух функций:
Метод Фурье: Ищем u(x,t) в виде:
Подставляем в уравнение:
Делим на (для того чтобы тождество выполнялось, приравниваем его некоторой произвольной константе)
Получаем два уравнения:
* - это уравнение второго порядка с двумя граничными условиями, это краевая задача с тривиальным решением, но она имеет не только тривиальное решение при некоторых λ. Это задача на собственные значения. Это задача Штурмана-Лиувилля. Решим её. рассмотрим три случая:
1. λ<0 – не подходит, т.к. собственные значения должны быть не отрицательными.
2. λ=0: решение будет следующее: , выберем те, которые удовлетворяют краевым условиям: получили тривиальное решение, оно нас не интересует, поэтому этот случай тоже не подходит.
3. λ>0: , выберем те, которые удовлетворяют краевым условиям: (полагаем В равным единице)
решение задачи на собственные значения.
В этом решении каждому собственному значению соответствует решение задачи для Т: получили бесконечное множество решений задачи. Т.к. это однородные и линейные уравнения, то решения можно складывать и умножать на числа. Т.о.: .
Остались не выполненными начальные условия: домножим обе части на и интегрируем , аналогично:
Задача решена. Проанализируем полученный результат.
Введём следующие величины: , решение тогда запишется:
Сn – амплитуда колебаний
– частота колебаний, - фаза колебаний
Наше решение – суперпозиция двух волн – стоячая волна, например, звук - сумма бесконечного числа стоячих волн, с соответствующей частотой, фазой и амплитудой, зависит от параметров струны: - длина струны, , - основной тон струны, ωn – обертон, громкость зависит от C1 и D1.
профиль колебания волны – стоячая волна.
7. Смешанная краевая задача (задача Коши) .
Рассмотрим линейную задачу о колебаниях среды:
Разбиваем задачу на три, каждая из которых вызывает одну причину: начальное отклонение, граничные возмущения, внешние силы, т.е.
1) Учитываем граничные условия: подбираем u1 таким, что бы оно удовлетворяло граничным условиям:
В силу линейности оставшиеся два решения удовлетворяют однородным граничным условиям.
2) Учитываем начальные условия, не учитываем правую часть: ищем u2 такое, которое удовлетворяет однородному уравнению и однородным граничным условиям, а также получим новые начальные условия:
Мы получили однородную задачу для u2 с неоднородными начальными условиями. Её решение в вопросе 8.
3) Учитываем начальные условия, не учитываем правую часть: ищем u3 такое, что бы оно удовлетворяло неоднородному уравнению, и получаем для него нулевые условия:
Мы разделили задачу таким образом, что сумм этих трёх частей удовлетворяет исходным уравнению и условиям.
Рассмотрим решения задач 2 (ВОПРОС 8!) и 3 по отдельности:
3)
Воспользуемся т. с. зн. , если решение существует, то
- разложили решение в ряд по собственным значениям, коэффициенты разложения ( - самосопряженный оператор):
удовлетворяет уравнению: неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, начальные условия получаем исходя из начальных условий задачи.
, тогда решение этого уравнения (метод вариации постоянных):