Метрические пространства
Первое свойство, которым мы наделим пространство сигналов, называют метрикой. Метрическое пространство – это множество с подходящим образом определенным расстоянием между его элементами. Само это расстояние, как и способ его определения, называют метрикойи обозначают . Метрика должна представлять собой функционал, т.е. отображение любой пары элементов и множества на действительную ось, удовлетворяющее интуитивно понятным требованиям (аксиомам):
1) (равенство при ), 2) , 3) (аксиома треугольника).
Следует отметить, что метрики можно задать разными способами и в результате для одних и тех же элементов получить разные пространства.
Примеры метрик: 1) , 2) евклидова метрика, 3) евклидова метрика. Линейные пространства Усовершенствуем структуру пространства сигналов, наделив его простыми алгебраическими свойствами, присущими реальным сигналам, которые можно алгебраически складывать и умножать на числа. ЛинейнымпространствомL над полем F называют множество элементов , называемых векторами, для которых заданы две операции –сложение элементов (векторов) и умножение векторов на элементы из поля F (называемые скалярами) . Не вдаваясь в математические детали, в дальнейшем, под полем скаляров будем понимать множества вещественных чисел R (случай действительного пространства L) или комплексных чисел С (случай комплексного пространства L). Эти операции должны удовлетворять системе аксиом линейного пространства. 1. Замкнутость операций сложения и умножения на скаляр: , . 2. Свойства сложения: ассоциативность, коммутативность. 3. Свойства умножения на скаляр: ассоциативность, дистрибутивность суммы векторов, дистрибутивность суммы скаляров. 4. существование нулевого вектора. 5. существование проти- воположного вектора.
Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами , называют линейной комбинацией (многообразием). Легко видеть, что множество всех линейных комбинаций векторов при разных ai (не затрагивая ) также образует линейное пространство, называемое линейной оболочкой для векторов . Множество векторов называют линейно независимыми, если равенство возможно лишь при всех ai = 0. Например, на плоскости любые два неколлинеарные вектора (не лежащие на одной прямой) являются линейно независимыми. Система линейно независимых и ненулевых векторов образует в пространстве L базис, если . Этот единственный набор скаляров {ai}, соответствующий конкретному вектору , называют егокоординатами(проекциями) по базису . Благодаря введению базиса операции над векторами превращаются в операции над числами (координатами) . Если в линейном пространстве L можно отыскать n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов зависимы, то n – размерностьпространства L (dim L = n).
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (737)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |